برهان خلف

محمدتقی طاهری تنجانی

۱۳۹۹/۱۱/۲۵

یکی از روش‌های استدلال ریاضی استفاده از برهان خلف در حل مسائل است. در این روش به‌جای آنکه درستی یک گزاره را به‌طور مستقیم ثابت کنیم، راهی غیرمستقیم انتخاب می‌کنیم و ثابت می‌کنیم با نپذیرفتن درستی گزاره حکم به نتیجه‌ای نامعقول می‌رسیم. به همین خاطر این شیوه اثبات را روش غیرمستقیم نیز می‌گویند.

اشاره

اقلیدس اولین کسی بود که از برهان خلف در کتاب مشهور خود به نام «مقدمات» استفاده کرد. او آن را معمای برهان خلف نامید. یکی از کارآمدترین روش‌های استدلال ریاضی روش برهان خلف است. در این مقاله با مثال‌های ساده و معماگونه، ورودی به شیوه استفاده از برهان خلف داریم.

مثال 1. از کیسه‌ای شامل دو کلاه قرمز و یک کلاه سیاه، دو کلاه را برمی‌داریم و بر سر دو نفر A و B قرار می‌دهیم. از آن‌ها می‌خواهیم با توجه به اطلاعات رنگ کلاه‌های داخل کیسه، رنگ کلاه خودشان را حدس بزنند.

فرد A بعد از مدتی فکر کردن گفت: «نمی‌دانم کلاهم چه رنگی است!» بلافاصله فرد B گفت: رنگ کلاه من قرمز است. فرد B چگونه استدلال کرد؟

پاسخ 1. B با خـود فـکر می‌کند که اگر کلاه سرش سیاه باشد، شخص A باید فوراً جواب می‌داد و رنگ کلاهش را حدس می‌زد. اما چون او جواب نداد، پس رنگ کلاه من سیاه نیست. در نتیجه کلاهم حتماً قرمز است.

همان‌طور که در مثال 1 مشاهده شد، فرد B به‌جای استدلال مستقیم به شیوه‌ای غیرمستقیم و اینکه اگر کلاه من سیاه بود (خلاف حکم مورد نظر) و نوع برخورد A نتیجه می‌گیرد که کلاهش قرمز است. به مثال دیگری در این زمینه توجه کنید.

مثال 2. سه فرد B ، A و C روی پله‌هایی به‌صورت شکل 1 نشسته‌اند. از کیسه‌ای که شامل سه کلاه سیاه و دو کلاه قرمز است، در تاریکی روی سر هر یک از افراد B ، A و C کلاهی قرار می‌دهیم. سپس از آن‌ها می‌خواهیم رنگ کلاهشان را تشخیص دهند. C می‌گوید من رنگ کلاهم را نمی‌دانم. بلافاصله B می‌گوید من هم رنگ کلاهم را نمی‌دانم. بعد از صحبت‌های C و B، فرد A می‌گوید رنگ کلاه من سیاه است. A چگونه استدلال می‌کند؟

پاسخ 2. (روش‌ برهان خلف) A با خودش این‌گونه استدلال می‌کند که اگر رنگ کلاه من قرمز باشد، پس رنگ کلاه B قرمز نیست، چون در غیر این‌ صورت شخص C باید جواب می‌داد که کلاه سر خودش سیاه است. شخص B کلاه قرمز را باید روی سر A ببیند و جواب منفی C را هم می‌شنود. پس شخص B باید متوجه سیاه بودن کلاه خودش شود، اما شخص B جواب منفی داده است. این تناقض نشان می‌دهد که فرض قرمز بودن کلاه A منتفی است. پس باید رنگ کلاه A سیاه باشد.

مثال 3. سه فرد B ، A و C دور یک میز نشسته‌اند. از داخل کیسه‌ای که دارای سه کلاه سیاه و دو کلاه قرمز است، در تاریکی روی سر هر یک از این افراد کلاهی می‌گذاریم. با توجه به اطلاعات داخل کیسه که هر سه نفر می‌دانند، می‌خواهیم رنگ کلاهشان را حدس بزنند.

اما مدت‌زمان زیادی می‌گذرد و هر سه در فکر هستند، یکدفعه هر سه نفر یکصدا می‌گویند: «من رنگ کلاه خودم را می‌دانم». چگونه استدلال کرده‌اند؟

پاسخ 3. این افراد از روش برهان خلف استفاده کرده‌اند. کلاه هر سه نفر سیاه است. اگر رنگ کلاه هیچ کدام از این سه نفر سیاه نباشد (فرض خلف)، حداقل کلاه یکی از آن‌ها قرمز است. در نتیجه دو حالت زیر در نظر گرفته می‌شود:

حالت اول) کلاه دو نفر قرمز باشد. این حالت ممکن نیست، چون در این صورت شخص سوم فوراً جواب می‌داد که کلاهش سیاه است.

حالت دوم) کلاه یکی از افراد (مثلاً A) قرمز باشد. این حالت نیز ممکن نیست، چون در این صورت نفر B (یا C) پیش خود فکر می‌کند که اگر کلاه سر خودش نیز قرمز باشد، شخص C‌ (یا B) باید متوجه رنگ کلاه خودش می‌شد اما شخص C (یا B) جواب نمی‌دهد. پس کلاه A قرمز نیست. در نتیجه بعد از چند دقیقه فکر کردن شخص B (یا C) باید جواب می‌داد که کلاه سر خودش سیاه است.

بنابراین در هر دو حالت به تناقض رسیدیم. یعنی کلاه هیچ یک از آنان قرمز نیست، پس کلاه هر سه نفر سیاه است.

مثال 4. پدری سه فرزند به نام‌های B، A و C داشت. می‌خواست باهوش‌ترین آن‌ها را شناسایی کند. از آن‌ها خواست دور میز دایره‌ای بنشینند و بر سر هر کدام در تاریکی یک کلاه از رنگ‌های سیاه یا قرمز قرار داد و به آن‌ها گفت: رنگ کلاه شما قرمز یا سیاه است. حالا هر کس کلاهی به رنگ قرمز می‌بیند، دست خود را بلند کند. هر سه نفر دست خود را بلند می‌کنند. سپس از آن‌ها می‌خواهد که هر کس رنگ کلاه خود را تشخیص داد، از جای خود بلند شود. بعد از چند دقیقه A از جای خود بلند شد. این شخص چگونه به رنگ کلاهش پی برد و کلاهش چه رنگی بود؟

پاسخ 4. رنگ کلاه A قرمز بود. A پیش خود این‌گونه فکر می‌کند: آیا رنگ کلاهم می‌تواند سیاه باشد؟ اگر رنگ کلاهم سیاه باشد، B (یا C) می‌فهمد که کلاهش قرمز است. پس شخص B (یا C) باید از جای خود بلند می‌شد . از آنجا که هیچ‌یک از آن‌ها از جای خود بلند نشدند، پس زنگ کلاه A سیاه نیست و در نتیجه قرمز است.

مثال 5. سه فیلسوف یونان باستان به نام‌های B، A و C زیر درختی خوابیده بودند. رهگذری پیشانی هر سه را سیاه کرد و از آنجا دور شد. این سه نفر از خواب بیدار شدند. هر یک به سیاه شدن پیشانی دو نفر دیگر می‌خندیدند. در یک لحظه C از خندیدن باز ایستاد و فهمید که پیشانی او نیز سیاه شده است. C چگونه به این نتیجه رسید.

پاسخ 5. C این‌گـونه استـدلال می‌کـند: اگر پـیشانی مـن سیـاه نباشد (فرض خلف)، A و B دارند می‌خندند و می‌بینند که پیشانی من سیاه نیست. پس در یک لحظه A (یا B) باید از خندیدن باز می‌ایستاد، چون می‌فهمید که B (یا A) به او می‌خندد، ولی آن‌ها خنده خودشان را قطع نکردند. پس پیشانی من نیز باید سیاه باشد.

مثال 6. سه فیلسوف B، A و C دور یک میز دایره‌ای‌شکل نشسته‌اند. بر سر هر کدام یک کلاه دارای دو برچسب رنگی قرار می‌دهیم و به آن‌ها می‌گوییم برچسب‌های کلاهشان از دور رنگ سفید و سیاه است و تعداد هیچ‌کدام از آن‌ها بیشتر از 4 تا نیست. از B، A و C به ترتیب سؤال می‌کنیم: آیا رنگ برچسب‌های کلاهشان را می‌توانند تشخیص دهند؟ جواب هر سه نفر منفی است. برای بار دوم از A می‌پرسیم. و جوابش منفی است. سپس از B همان سؤال را می‌پرسیم در کمال ناباوری جوابش مثبت است. B چگونه به رنگ برچسب کلاهش پی برد؟

پاسخ 6. رنگ برچسب‌های کلاه B یکی سفید و یکی سیاه است. B این‌گونه می‌اندیشد که اگر هر دو برچسب کلاهش سیاه باشد، در این‌صورت شخص A در دور دوم سؤال کردن می‌فهمید که برچسب‌های کلاهش یکی سفید و یکی سیاه است. زیرا در این حالت شخص A برای خود چنین استدلال می‌کند که اگر برچسب‌های کلاه من سیاه باشد، آن‌گاه C همان بار اول چهار برچسب سیاه می‌دید و می‌فهمید که برچسب کلاهش سفید است. پس این حالت ممکن نیست.

شخص A دوباره پیش خود فکر می‌کند: اگر برچسب‌های کلاه من سفید باشد، آن‌گاه شخص C همان بار اول می‌فهمید که برچسب‌های کلاهش یکی سفید و یکی سیاه است. در نتیجه این حالت ممکن نیست.

به همین ترتیب شخص A استدلال می‌کند که برچسب‌های کلاهش سفید نیز نیست، چون او در دور دوم متوجه می‌شد که برچسب‌های کلاهش یکی سفید و یکی سیاه است و این یک تناقض است. پس برچسب‌های کلاه فیلسوف B سیاه نیست. به همین ترتیب فیلسوف B استدلال می‌کند که برچسب‌های کلاهش سفید نیست.

همان‌طور که در مثال‌های بالا مشاهده شد، در روش برهان خلف فرض می‌کنیم حکم مورد نظر درست نباشد (خلافش درست باشد). این مطلب را فرض خلف در نظر می‌گیریم. سپس با استفاده از معلومات مسئله و استدلال استنتاجی به یک تناقض می‌رسیم. این تناقض می‌تواند در رابطه با یکی از معلومات مسئله و یا امری پذیرفته‌شده از قبل باشد. چرا به این تناقض رسیدیم؟ همه مراحل کار که درست است! علت آن است که فرض خلف نمی‌تواند درست باشد و علت این تناقض همان درست فرض کردن خلف حکم مسئله است. پس فرض خلف باطل و حکم مسئله مورد تأیید است.