مقدمه
ما در جهانی سه‌بُعدی زندگی می‌کنیم که در آن، بیشتر تجربه‌های خود را از طریق محرک‌های دیداری به دست می‌آوریم. این بدان معناست که توانایی تفسیر این داده‌های دیداری برای بقای ما، امری بنیادین است [Jones, ۲۰۰۲]. از طرف دیگر، از آنجا که آموزش منطقی می‌باید در راستای تجهیز فراگیرندگان به توانایی‌ها و مهارت‌های مورد نیازشان انجام شود، بدیهی است که گنجاندن موادی آموزشی که چنین مهارت‌هایی را بپروراند، ضروری است. بنابراین به جرئت می‌توان گفت، دانش هندسه به‌عنوان دانشی که از یک‌سو با جهان فیزیکی و دریافت‌های دیداری ما و از سوی دیگر با منطق و استدلال، پیوستگی عمیقی دارد، می‌تواند به‌عنوان ابزاری نیرومند برای پرورش توانایی تفسیر انسان از دنیای فیزیکی خود به‌کار رود.
هندسه در زمینه‌ها و حوزه‌های متفاوت کاربردهای گوناگونی دارد. در اینجا به علت محدودیت در تعداد صفحه‌های مقاله، تنها به مصداق‌هایی از کاربرد آن در زندگی روزمره بسنده می‌کنیم. برای مثال، هنگامی که پیش از خرید یک وسیله، به چگونگی گنجاندن آن درون کمد یا اتاق و یا هر فضای دیگر می‌اندیشیم، از «تجسم فضایی»۱ که یکی از مهارت‌های هندسی است، بهره می‌گیریم. با دانستن روش محاسبه محیط یک دایره یا هر شکل هندسی دیگر، مقدار نرده مورد نیاز برای حصارکشی دور یک زمین و یا مقدار سنگ مورد نیاز برای حاشیه یک باغچه را تخمین می‌زنیم یا به دقت به دست می‌آوریم. دانستن شیوه محاسبه مساحت شکل‌های هندسی، به ما در تعیین مقدار کفپوش مورد نیاز برای پوشاندن کف اتاق یا هر بخش دیگر ساختمان کمک می‌کند.
دانش‌آموزان از طریق مطالعه هندسه، درباره شکل‌ها، ساختارها و چگونگی تحلیل ویژگی‌ها و روابط میان آن‌ها، آگاهی می‌یابند. تجسم فضایی خود یکی از مهم‌ترین جنبه‌های تفکر هندسی است. هندسه فرصتی طبیعی برای گسترش مهارت‌های استدلالی و توجیهی دانش‌آموزان است که در دبیرستان، با اثبات به اوج می‌رسد. مدل‌سازی و استدلال هندسی، روش‌هایی را برای تفسیر و توصیف پیرامون فیزیکی فراهم می‌آورد که می‌توان آن‌ها را به‌عنوان ابزارهایی ارزشمند در حل مسئله به‌کار برد [NCTM,۲۰۰۵:۶۱-۶۵]۲. اهمیت هندسه غیررسمی نیز کمتر از هندسه رسمی نیست، چون آموزش هندسه غیررسمی، با فراهم آوردن زیربنایی از واژه‌ها، مهارت‌های اکتشافی، دیدگاه‌های شهودی و درک روابط هندسی، پیش‌نیاز لازم را برای مطالعه هندسه رسمی فراهم می‌کند [Knight, ۲۰۰۶]. مدل‌های عینی، ترسیم‌ها و نرم‌افزارهای هندسی پویا، این امکان را برای دانش‌آموزان فراهم می‌کنند که با مفاهیم هندسی، فعالانه و درگیر شوند. دانش‌آموزان در کنار فعالیت‌ها و ابزارهای مناسب و همراهی معلم، می‌توانند در مباحث هندسی، حدس و گمان بزنند و استدلال کردن دقیق را از همان سال‌های نخستین مدرسه یاد بگیرند [NCTM, ۲۰۰۰].
با وجود اهمیت آموزش و یادگیری هندسه در جهان امروزی، اما هندسه در مقایسه با دیگر شاخه‌های ریاضیات مورد مطالعه در دوران مدرسه با گستره وسیع‌تری از بدفهمی‌ها و مشکلات یادگیری روبه‌روست. نظریه ون‌هیلی۳ یکی از نظریه‌های مهم و کاربردی در قلمرو هندسه است که ایده دسته‌بندی سطحهای درک و تفکر هندسی را مطرح می‌کند و چارچوبی برای سنجش سطح تفکر هندسی فرد به دست می‌دهد. رده‌بندی سطحهای تفکر هندسی که توسط نظریه ون‌هیلی بیان می‌شود، تنها یکی از جنبه‌های این نظریه را تشکیل می‌دهد که مبنای پژوهش حاضر قرار گرفته است. این رده‌بندی شامل پنج سطح است که از سطح درک صرفاً تصویری آغاز و به‌صورت سلسله مراتبی، به درک انتزاعی منجر می‌شود [Van Hiely, ۱۹۵۹; MaSon, ۲۰۰۹;Halat, ۲۰۰۸; Pusey, ۲۰۰۳; Clements, ۲۰۰۳; Usiskin, ۱۹۸۲; Crowfey, ۱۹۸۷]. جدول ۱ سطحهای ون‌هیلی را به‌طور خلاصه و به همراه توانایی‌های مورد انتظار در هر سطح نمایش می‌دهد.
سطحهای تفکر ون‌هیلی ویژگی‌هایی دارند که از آن میان می‌توان به سلسله‌مراتبی بودن آن‌ها اشاره کرد. یعنی لازمه رسیدن به یک سطح آن است که شخص، سطحهای پیش از آن را گذرانده باشد [Usiskin, ۱۹۸۲]. همچنین، بنا به گفته فن‌هیلی، پیشرفت در سطحهای تفکر بیش از آنکه وابسته به سن شخص و مراحل رشد او باشد، به آموزشی که او به‌عنوان یادگیرنده دریافت می‌کند، بستگی دارد.
نظریه فن‌هیلی در فهرست نظریاتی قرار می‌گیرد که نه‌تنها به بررسی یک مشکل آموزشی، بلکه به ارائه راهکارهایی برای بهبود آموزش و یادگیری نیز پرداخته است. آگاهی از سطح درک و استدلال هندسی دانش‌آموزان به کمک نظریه ون‌هیلی می‌تواند زمینه‌ساز تنظیم و تدوین مواد درسی و طراحی فعالیت‌های آموزشی متناسب با سطح توانایی دانش‌آموزان شود. پژوهش‌های انجام شده در راستای این نظریه، اهمیت آن را آشکار می‌سازد (پژوهش‌هایی مانند پژوهش‌های یوسسکین (۱۹۸۲)؛ برگر و شاونسی۴ (۱۹۸۶)؛ گوتی یرز و جیم۵ (۱۹۹۸)؛ نایت (۲۰۰۶)؛ آرماه۶ و همکارانش (۲۰۱۸)؛ سنچس گارسیا و کابلو۷ (۲۰۱۶)؛ نیساوا۸ (۲۰۱۸)؛ حبیبی (۱۳۹۲)؛ امینی‌فر و همکاران (۱۳۹۰)؛ ریحانی و همکارانش (۱۳۸۹)؛ لیاقتدار و همکاران (۱۳۹۰)؛ مرادی ویس (۱۳۸۸). با توجه به آنکه در تدوین کتاب‌های درسی و همچنین تنظیم شیوه‌ای کارامد برای ارزشیابی، بررسی سطح تفکر دانش‌آموزان به‌ویژه در هندسه ضروری است. این پژوهش به ارزیابی سطح تفکر هندسی دانش‌آموزان پایه هشتم در مبحث چهارضلعی‌ها براساس مدل فن‌هیلی می‌پردازد.
روش پژوهش
از آنجا که هدف پژوهش حاضر بررسی سطح تفکر هندسی دانش‌آموزان بر پایه مدل ون‌هیلی است، برای سنجش این سطح از روش تحقیق «توصیفی ـ پیمایشی» استفاده شد. در این روش از شرکت‌کنندگان خواسته می‌شود که به پرسش‌هایی معین که در جهت پاسخ‌گویی به پرسش‌های پژوهش طرح شده‌اند، پاسخ دهند. جامعه آماری، شامل دانش‌آموزان پایه هشتم شهرستان صومعه‌سرا بود و پژوهش حاضر روی یک نمونه در دسترس، متشکل از ۵۵ نفر از دانش‌آموزان پایه هشتم یکی از مدرسه‌های نمونه دولتی دوره اول متوسطه در این شهرستان انجام گرفت. به منظور سنجش سطح تفکر هندسی دانش‌آموزان شرکت‌کننده، از آزمونی محقق ساخته براساس مدل ون‌هیلی به‌عنوان ابزار اندازه‌گیری استفاده شد که شامل پنج پرسش پنج گزینه‌ای بود که روایی ظاهری و محتوایی آن مورد تأیید چند نفر از استادان ریاضی و آموزش ریاضی دانشگاه و چند دبیر ریاضی دوره اول متوسطه قرار گرفت.
آزمون پژوهش تنها سه سطح اول فن‌هیلی را سنجش می‌کند، زیرا بیشتر پژوهش‌های انجام شده مربوط به ارزیابی سطحهای ون‌هیلی، در دوره‌های بالاتر از ابتدایی، تأییدکننده این امر بوده‌اند که سطح کلی دانش‌آموزان این دوره‌ها، سطحهای دوم و یا حداکثر سوم فن‌هیلی بوده‌اند [clements, ۲۰۰۳; Gutierrez & Jaime, ۱۹۹۸; usiskin, ۱۹۸۲]. مبحث هندسی انتخاب شده برای آزمون، شناخت چهارضلعی‌ها و ویژگی‌هایشان بوده است. در انتهای برخی پرسش‌های آزمون، از دانش‌آموزان خواسته شده بود که برای انتخاب گزینه خود دلیل بیاورند. علاوه بر آن، پس از برگزاری آزمون با تعدادی از شرکت‌کنندگان مصاحبه‌های کوتاهی به عمل آمد که اطلاعات به دست آمده از آن، در تحلیل آزمون به‌کار گرفته شد.
یافته‌های پژوهش
در آزمون پژوهش از پنج پرسش پنج گزینه‌ای استفاده شد که سه سطح اول ون‌هیلی را پوشش می‌دهند. دو پرسش ۱ و ۲، سطح اول فن‌هیلی را می‌سنجند که در آن‌ها، تنها به ظاهر و کلیت شکل توجه می‌شود. پرسش‌های ۳ و ۴ به آزمون سطح دوم فن‌هیلی می‌پردازند که در آن‌ها ویژگی‌های شکل‌ها بدون درک روابط میان این ویژگی‌ها فهمیده می‌شوند. پرسش پنجم نیز در حد سطح سوم است که در آن شخص می‌تواند استدلال‌های ساده را درک و روابط میان ویژگی‌ها را به‌طور غیررسمی استنتاج کند. در ادامه، این پرسش‌ها به تفکیک سطح مورد نظر بررسی می‌شوند.
پرسش‌های ۱ و ۲ آزمون: ارزیابی پاسخ‌های دانش‌آموزان به این دو پرسش در سه دسته به تفکیک در جدول ۲ آمده است. با توجه به آنکه این دو پرسش در سطح نخست نظریه ون‌هیلی طرح شده‌اند و در این سطح، شناخت صرفاً بر مشاهده کلیت ظاهری شکل استوار است،. بنابراین در تحلیل پاسخ‌ها تنها به درست یا نادرست بودن جواب توجه شده و جایی برای استدلال در نظر گرفته نشده است.
بررسی پاسخ‌های دانش‌آموزان نمایانگر آن است که در پرسش اول، ۲۸ نفر از ۵۵ شرکت‌کننده یعنی بیش از نیمی از آن‌ها، در تشخیص لوزی اشتباه کرده‌اند (۵۰/۹ درصد) که بیشترین پاسخ‌های نادرست مربوط به انتخاب گزینه (۵) بوده است و تعداد ۲۵ نفر از حجم ۵۵ نفری نمونه، این پاسخ را برگزیده‌اند. در پرسش ۲، دانش‌آموزان عملکرد بهتری نشان داده‌اند و ۳۳ نفر از ۵۵ نفر، یعنی ۶۰ درصد شرکت‌کنندگان، گزینه (۴) را که گزینه درست است، انتخاب کرده‌اند. پس از گزینه (۴)، گزینه (۵) با فراوانی ۱۱، بیشترین فراوانی را داراست. در توضیحی که این دانش‌آموزان برای انتخاب خود آوردند، مشخص گردید که ذوزنقه را «چهارضلعی‌ای با دست‌کم دو ضلع موازی» می‌دانستند و بنابراین متوازی‌الاضلاع را نیز نوعی ذوزنقه شناسایی کرده‌اند. در اینجا اگر صرفاً به گزینه انتخابی توجه شود، این دانش‌آموزان در شناخت ذوزنقه حتی به سطح اول فن‌هیلی نیز دست نیافته‌اند.
پرسش‌های ۳ و ۴ آزمون: ارزیابی پاسخ‌های دانش‌آموزان به این دو پرسش در پنج دسته به تفکیک در جدول ۳ آمده است.
در جدول ۴ نیز، فراوانی انتخاب هر گزینه نمایش داده شده که فراوانی مربوط به گزینه درست، در زمینه تیره نشان داده شده است.
در دسته‌بندی پاسخ‌های پرسش ۳ که مربوط به تشخیص ویژگی‌های مستطیل است، با توجه به تعداد پاسخ‌های درست (۴۱ پاسخ از ۵۳ پاسخ دریافتی) که معادل ۷۴/۵ درصد کل شرکت‌کنندگان است، بیشتر دانش‌آموزان عملکرد قابل قبولی داشته‌اند. نکته‌ای که درباره این پرسش اهمیت دارد، این است که شاید دلیل انتخاب درست برخی دانش‌آموزان آن باشد که تصویر رایجی که از مستطیل در ذهن دانش‌آموز وجود دارد، مستطیلی با طول و عرض نابرابر است. البته در این نوع خاص از مستطیل، قطرها بر هم عمود نیستند.
برخلاف عملکرد دانش‌آموزان در پاسخ به پرسش سوم آزمون، تنها ۲۷/۳ درصد از پاسخ‌های آن‌ها به پرسش ۴ درست بوده است. بیشتر دانش‌آموزان با وجود آنکه متوازی‌الاضلاعی را که مستطیل نیست، در برگه آزمون رسم کرده‌اند و قطرهای آن را (که در این نوع متوازی‌الاضلاع، به وضوح هم‌اندازه نیستند) نمایش داده‌اند، قطرهای متوازی‌الاضلاع را با هم برابر دانسته‌اند. بیشترین فراوانی در انتخاب گزینه‌های نادرست، مربوط به گزینه ۵ است که بیان می‌کند: قطرهای متوازی‌الاضلاع هم با یکدیگر برابرند و هم یکدیگر را نصف می‌کنند. ۲۵ نفر از دانش‌آموزان این گزینه را انتخاب کردند. با در نظر گرفتن تعداد پاسخ‌های درست و تعداد انتخاب‌های گزینه ۵ می‌توان نتیجه گرفت که حدود ۷۲/۷ درصد از جمعیت نمونه، این ویژگی درست را که قطرهای متوازی‌الاضلاع یکدیگر را نصف می‌کنند، درک کرده‌اند و ۴۵/۵ درصد از دانش‌آموزان، افزون بر این، به اشتباه هم‌اندازه بودن قطرها را نیز در فهرست ویژگی‌های متوازی‌الاضلاع‌ها لحاظ کرده‌اند.
پرسش ۵ آزمون: ارزیابی پاسخ‌های دانش‌آموزان به این پرسش در پنج دسته به تفکیک در جدول ۵ آمده است.
در جدول ۶ نیز فراوانی انتخاب هر گزینه نمایش داده شده که فراوانی مربوط به گزینه درست، در زمینه تیره نشان داده شده است.
در پرسش پنجم که در سطح سوم ون‌هیلی طرح شده، درصد بالای ۸۷/۳ برای انتخاب گزینه نادرست، نشانگر آن است که بیشتر دانش‌آموزان، به سطح سوم ون‌هیلی دست نیافته‌اند. در اینجا بیشترین فراوانی در گزینش پاسخ نادرست، مربوط به انتخاب گزینه ۱ است (۳/۴۷ درصد کل جمعیت نمونه). بیشتر دانش‌آموزانی که این گزینه را برگزیده‌اند، در توجیه دلیل انتخاب خود، در برگه آزمون چنین نوشته بودند: «چون مربع چهار ضلع و چهار زاویه برابر دارد، پس همه عبارت‌های درون کادر درست هستند.» این موضوع نشان می‌دهد که تمایز میان شرایط لازم و کافی درک نشده است. برخی دیگر از دانش‌آموزان نیز به معادل بودن عبارت‌های (C) و (D) پی نبرده‌اند و عبارت (D) را که در آن به جای «چهار زاویه هم‌اندازه» از «چهار زاویه ۹۰ درجه» استفاده شده، دقیق‌تر و کامل‌تر دانسته‌اند. این نیز بیان‌کننده ضعف در استدلال این مطلب است که برابری زاویه‌ها در یک چهارضلعی، با ۹۰ درجه بودن اندازه‌های آن‌ها هم‌ارز است. تمایز میان شرایط لازم و کافی و نیز بیان استدلال غیررسمی از توانایی‌هایی است که در سطح سوم ون‌هیلی به دست می‌آید.
با توجه به دسته‌بندی پرسش‌های آزمون، براساس سطح ون‌هیلی و درصد پاسخ‌های درست به تفکیک هر پرسش، میانگین درصد پاسخ‌های درست دانش‌آموزان در هر سطح در جدول ۷ نشان داده شده است.
با توجه به تحلیل نتایج آزمون و جدول ۷، درک بیشتر دانش‌آموزان از مبحث چهارضلعی‌ها، در یکی از دو سطح اول یا دوم ون‌هیلی قرار دارد. ون‌هیلی‌ها جهش از یک سطح بدون گذراندن سطحهای پیشین را غیرممکن می‌دانند [Useskin, ۱۹۸۲]. با توجه به سلسله مراتبی بودن سطحهای فن‌هیلی انتظار می‌رفت، مقدارهای جدول ۷ به‌طور افزایشی از سطح اول به سطح سوم ظاهر شوند. اگرچه این امر اتفاق افتاده است، ولی اختلاف چندانی میان درصد دستیابی به سطحهای اول و دوم دیده نمی‌شود. با توجه به مصاحبه‌های کوتاه انجام گرفته پس از آزمون، بیشتر دانش‌آموزانی که به پرسش‌های سطح اول فن‌هیلی پاسخ نادرست، ولی به پرسش‌های سطح دوم پاسخ درست داده‌اند، در تشخیص شکل‌ها (پرسش‌های ۱ و ۲ که در سطح اول فن‌هیلی طرح شده‌اند)، صرفاً به کلیت شکل توجه نداشته‌اند و ویژگی‌های آن را نیز در نظر گرفته‌اند. بنابراین به نظر می‌رسد پاسخ نادرست این دسته، بیش از آنکه زاده نرسیدن به سطح اول فن‌هیلی باشد، ناشی از تعریف‌های نادرست از هر شکل بوده که با اجزای هر شکل و ویژگی‌های آن (سطح دوم ون‌هیلی) در ارتباط است.
بحث و نتیجه‌گیری
در پژوهش حاضر که به بررسی سطحهای تفکر دانش‌آموزان پایه هشتم می‌پردازد، با استناد به یافته‌ها و نتایج پژوهش‌های انجام شده، تنها سه سطح نخست ون‌هیلی مورد ارزیابی قرار گرفته است. در پژوهش‌های انجام شده، سطح پنجم تفکر، نسبت به سطحهای دیگر کمترین میزان توجه را برانگیخته است. حتی آلن هافر۹ به استناد گفت‌وگویی شخصی که در ۲۵ فوریه ۱۹۸۵ با پیره فن‌هیلی داشته است، نقل می‌کند که ون‌هیلی، خود به‌طور ویژه به سه سطح نخست علاقه‌مند بوده است [Crowley, ۱۹۸۷]. از سوی دیگر، چون بیشترین حجم هندسه دبیرستانی به‌طور معمول تا سطح سوم تفکر را در برمی‌گیرد، در بیشتر پژوهش‌ها نیز به سه سطح پایین‌تر، بیش از سطحهای دیگر پرداخته شده است [پیشین].
نتایج برآمده از پژوهش حاضر، در راستای دیگر پژوهش‌های انجام گرفته در زمینه بررسی سطحهای تفکر هندسی ون‌هیلی افراد، تأییدکننده نتایج پژوهش‌های مرتبط پیش از خود بوده‌اند. حاصل تحقیقات گوتی یرز و جِیم (۱۹۹۸)، یوسسکین (۱۹۸۲) و فایز۱۰ و همکاران (۱۹۸۸) بیانگر آن است که بیشتر مباحث هندسه مدرسه‌ای متناسب با سطح دانش‌آموزان در نظر گرفته نشده‌اند و شاید در پاره‌ای موارد حتی به ارزیابی این سطح‌ها به منظور تدوین محتوای آموزشی پرداخته نشده است. این مطلب می‌تواند توجیه‌گر ضعف‌های فراوان دانش‌آموزان تقریباً در همه دوره‌های آموزشی در یادگیری هندسه باشد، چرا که براساس نظریه فن‌هیلی و پژوهش‌های صورت گرفته روی آن، تا زمانی که میان سطح تفکر یادگیرنده و سطح آموزش دریافتی ناهمگونی وجود دارد، آموزش در مسیر درست پیش نخواهد رفت.
با بررسی اجمالی کتاب ریاضی پایه هشتم می‌توان دریافت که مباحث و مفاهیم مطرح شده در کتاب درسی ریاضی این پایه، نیازمند برخورداری از تفکری در سطح دوم یا سوم ون‌هیلی است [یافتیان و صفابخش، ۱۳۹۸]. این امر در کنار نتایج پژوهش حاضر نشان‌دهنده ناهماهنگی سطح تفکر برآورد شده برای دانش‌آموزان پایه هشتم و سطح مطالب ارائه شده در کتاب درسی ریاضی این پایه است. این در حالی است که یوسسکین (۱۹۸۲) بیان می‌کند: فرایند گذر از یک سطح به سطح بعدی، نیازمند زمانی طولانی‌تر از یک ساعت یا چند جلسه آموزشی است. او در ادامه به فن‌هیلی استناد می‌کند که برای رساندن دانش‌آموزان ۱۲ ساله از سطح نخست به سطح دوم، ۲۰ جلسه و برای رساندن همین دانش‌آموزان از سطح دوم به سطح سوم، ۵۰ جلسه آموزشی را ضروری دانسته است.
نتایج برآمده از پژوهش حاضر، با توجه به در دسترس بودن نمونه پژوهش، ممکن است قابلیت تعمیم‌پذیری نداشته باشد. ولی با توجه به اینکه پژوهش حاضر، در میان دانش‌آموزان مدرسه‌های نمونه دولتی انجام شده است که از لحاظ توانایی‌ها، با توجه به آزمون‌های مدرسه‌ای، بالاتر از سطح متوسط ارزیابی شده‌اند، شاید بتوان گفت انتظار می‌رود نتایج به دست آمده از یک نمونه تصادفی، سطح تفکر هندسی پایین‌تری را نشان دهد. این موضوعی است که باید مورد توجه برنامه‌ریزان آموزشی و مؤلفان محترم مباحث هندسه کتاب‌های درسی ریاضیات مدرسه‌ای قرار گیرد. البته نظر به اینکه پژوهش حاضر در یک منطقه جغرافیایی محدود و روی تعداد محدودی نیز صورت گرفته است، شاید در برخی نتیجه‌گیری‌ها نیز پیش‌داوری و سوگیری رخ داده باشد. امید است که در آینده، پژوهش‌هایی جامع‌تر در این زمینه انجام شوند تا بتوان با قاطعیت بیشتری درباره درستی یا نادرستی نتایج حاصل از این پژوهش نظر داد.
پی‌نوشت‌ها
1. spatial visualization
2. the National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) شورای ملی معلمان ریاضی که در سال ۱۹۲۰ پایه گذاری شد با دارا بودنِ.
3. Van Hiele
4. Burger & Shaughnessy
5. Jaime & Gutiérrez
6. Armah
7. Sánchez-García & Cabello
8. Nisawa
9. Alan Hoffer
10. Fuys
منابع
۱. امینی‌فر، الهه؛ صالح صدق‌پور، بهرام؛ باقری، نیره (۱۳۹۰). «ساخت آزمون معتبر و پایای تفکر هندسی براساس سه سطح اول نظریه فن‌هیلی». فصلنامه اندازه‌گیری تربیتی. سال اول. شماره ۴.
۲. حبیبی، ملوک (۱۳۹۲). «نقش روش تدریس فعال معلمان در هندسه (با مدل فن‌هیلی) در افزایش انگیزش و یادگیری دانش‌آموزان دوره ابتدایی». فصلنامه مشاوره شغلی و سازمانی. دوره پنجم، شماره ۱۴.
۳. ریحانی، ابراهیم؛ امام جمعه، سیدمحمدرضا؛ صالح صدق‌پور، بهرام؛ مرادی ویس، اصغر (۱۳۸۹). «ارزیابی دانش معلمان و دانشجویان ریاضی در درس هندسه با استفاده از نظریه فن‌هیلی». نشریه علمی پژوهشی فناوری آموزش. سال پنجم. جلد ۵. شماره ۲.
۴. لیاقتدار، محمدجواد؛ سلیمانی، نسیم؛ صدر ارحامی، سعیده (۱۳۹۰). «بررسی تأثیر روش آموزش هندسه بر مبنای نظریه فن‌هیلی بر پیشرفت تحصیلی». اندیشه‌های نوین تربیتی. دوره ۸. شماره ۳.
۵. مرادی ویس، اصغر (۱۳۸۸). «مطالعه جایگاه هندسه مدرسه‌ای در برنامه درسی کارشناسی دبیری ریاضی مبتنی بر نظریه فن‌هیلی». پایان‌نامه کارشناسی ارشد آموزش ریاضی، دانشگاه تربیت دبیر شهید رجایی. تهران.
۶. یافتیان، نرگس؛ صفابخش، اشرف (۱۳۹۸). «تحلیل محتوای هندسه پایه هشتم براساس سطحهای تفکر هندسی فن‌هیلی». رشد آموزش ریاضی. شماره ۱۳۲.
7. Armah, R. B., Cofie, P. O., & Okpoti, C. A. (2018). Investigating the Effect of van Hiele Phase-Based Instruction on Pre-Service Teachers' Geometric Thinking. International Journal of Research in Education and Science, 4(1), 314- 330.
8. Burger, W. F., & Shaughnessy, J. M. (1986). Characterizing the van Hile levels of development in geometry. Journal for research in mathematics education, 17, 31- 48.
9. Clements, D. H. (2003). Teaching and learning geometry. A research companion to principles and standards for school mathematics, 151- 178.
10. Crowley, M. L. (1987). The van Hiele model of the development of geometric thought. Learning and teaching geometry, K-12, 1 -16.
11. Fuys, D., Geddes, D., & Tischler, R. (1988). The van Hiele model of thinking in geometry among adolescents. Journal for Research in Mathematics Education. Monograph, i-196.
12. Gutiérrez, A., & Jaime, A. (1998). On the assessment of the van Hiele levels of reasoning. Focus on Learning in Mathematics , 20, 27- 46.
13. Halat, E. (2008). In-service middle and high school mathematics teachers: Geometric reasoning stages and gender. The Mathematics Educator, 18(1), 8- 14.
14. Jones, K. (2002). Issues in the teaching and learning of geometry. In Linda Haggarty (Ed), Aspects of Teaching Secondary Mathematics (pp 121 -139). London: Routledge Falmer.
15. Knight, K. C. (2006). An investigation into the change in the Van Hiele levels of understanding geometry of pre-service elementary and secondary mathematics teachers (Doctoral dissertation, The University of Maine).
16. Mason, M. (2009). The van Hiele levels of geometric understanding. Colección Digital Eudoxus, 1(2).
17. National council of Teacher of Mathematics, (2000). Principle and Students for School Mathematics. Reston VA: Author.
18. Nisawa, Y. (2018). Applying van Hiele’s Levels to Basic Research on the Difficulty Factors behind Understanding Functions. IEJME-Mathematics Education. 13(2), 61- 65.
19. Pusey, E. L. (2003). The van Hiele model reasoning in geometry: a literature review. Unpublished master’s thesis, North Carolina State University, Raleigh, NC, United States.
20. Sánchez-García, A. B., & Cabello, A. B. (2016). An instrument for measuring performance in geometry based on the van Hiele model. Educational Research and Reviews, 11(13), 1194- 1201.
21. Usiskin, Z. (1982). Van Hiele levels and achievement in secondary school geometry. CDASSG Project.
22. Van Hiele, P. M. (1959). The child’s thought and geometry. English translation of selected writings of Dina van Hiele-Geldof and Pierre M. van Hiele, 243- 252.