پ) تقسیم کسر بر یک عدد طبیعی
این نوع تقسیم می‌تواند بر اساس تقسیم اندازه‌ای که تفریق تکرار شونده یا گروه‌های مساوی نیز نامیده می‌شوند، تعبیر شود. در این موقعیت‌ها، یک مقدار مساوی، به‌طور مکرر از کل جدا (کم) می‌شود. به‌طور مثال، اگر شما بخواهید ۱۴ شکلات را در بسته‌های ۴تایی قرار دهید، هر بار یک دسته ۴تایی از عدد ۱۴ کم می‌کنید. یکی از تعبیرهای خوب برای این موقعیت، تعبیر تقسیم اندازه‌ای است. دلیل این مناسب بودن آن است که دانش‌آموزان به خوبی می‌توانند تعداد دسته‌ها را مشخص کنند. زمینه‌های بسیاری وجود دارند که در آن‌ها می‌توان این تعبیر از تقسیم کسرها را برای تقسیم یک کسر بر یک عدد طبیعی نشان داد. برای نمونه، مثال زیر می‌تواند زمینه‌ی مناسبی برای این تعبیر از تقسیم کسرها باشد:
سؤال ۱، فرصتی را برای مقایسه‌ی تأثیر مقسوم‌علیه‌های کسری با صورت یک و بحث در خصوص اینکه چرا زمانی که مقسوم‌علیه کوچک‌تر است، خارج‌قسمت بزرگ‌تر خواهد بود، فراهم می‌کند. این مفهوم کمک می‌کند دانش‌آموزان رابطه‌ی بین ضرب و تقسیم را درک کنند و به این قاعده‌ی کلی توجه کنند که .
بنابراین، . سؤال دوم فرصتی فراهم می‌کند تا دانش‌آموزان حدس‌های خود از سؤال ۱ را در سؤالی جدید آزمایش کنند. زمانی که دانش‌آموزان تقسیم با مقسوم‌علیه‌های کسری با صورت واحد مانند ۱/۴ را بررسی کردند، برای بررسی موقعیت‌های تقسیم اندازه‌ای با مقسوم‌علیه‌های کسری غیرواحد، همانند ۲/۳ ، آماده هستند. مثال زیر، تکلیفی نمونه در این خصوص است:
علاوه بر تعبیر این موقعیت‌ها براساس تقسیم اندازه‌ای، می‌توان آن را بر اساس تقسیم بخشی نیز تعبیر کرد. در تقسیم بخشی، تمرکز سؤال بر پاسخ دادن به «چه مقدار (تعداد) برای یک (شخص)؟» است و تکالیفی که در آن‌ها خواسته می‌شود براساس یک جزء داده‌شده، مقدار کل را به دست آورند، نمونه‌هایی هستند که با این تعبیر از تقسیم (تقسیم بخشی) می‌توانند مفهوم‌بخشی و حل شوند. چرا که در این تکالیف از دانش‌آموزان خواسته می‌شود به سؤال «چه مقدار (تعداد) برای یک (کل)» پاسخ دهند. بنابراین، این نوع سؤالات، زمینه‌ی خوبی برای معنابخشی به تقسیم یک عدد طبیعی بر یک کسر، با استفاده از تقسیم بخشی، هستند. مثال‌های زیر نمونه‌هایی از این مسائل را نشان می‌دهند:
دانش‌آموزان برای اولین‌بار این نوع تقسیم را با تعبیر تقسیم اندازه‌ای در کتاب ریاضی پایه‌ی پنجم می‌بینند و درک می‌کنند که برای حل این‌گونه مسائل نیز همانند مسائل قبل تقسیم کسرها، می‌توانند تقسیم را به ضرب تبدیل کنند. البته در تمامی مسائل مرتبط با این بخش در کتاب ریاضی پایه‌ی پنجم ابتدایی، مقسوم‌علیه، کسر واحد است و دانش‌آموزان با تقسیم یک عدد بر کسر غیرواحد در پایه‌ی ششم ابتدایی آشنا می‌شوند. شکل ۱ فرایند آموزش تقسیم یک عدد طبیعی بر یک کسر را در پایه‌ی پنجم ابتدایی نشان می‌دهد:
ت) تقسیم کسر بر کسر
تقسیم کسر بر کسر را هم می‌توان با تقسیم اندازه‌ای و هم با تقسیم بخشی تعبیر کرد. اما بهتر است ابتدا این موقعیت را با تقسیم اندازه‌ای و سپس با تقسیم بخشی تعبیر کرد. بر همین اساس، مفهوم‌بخشی تقسیم کسر بر کسر، برای اولین‌بار در کتاب ریاضی پایه‌ی ششم، با استفاده از تعبیر تقسیم اندازه‌ای صورت می‌گیرد. البته با توجه به اینکه استفاده از عدد مخلوط به‌عنوان مقسوم، بهتر از یک کسر می‌تواند به درک این موقعیت کمک کند، در این کتاب، ابتدا از عدد مخلوط به‌عنوان مقسوم و سپس از یک کسر به‌عنوان مقسوم استفاده شده است. شکل ۲ این موضوع را نشان می‌دهد.
برای مفهوم‌بخشی تقسیم کسر بر کسر، می‌توان از تقسیم بخشی نیز استفاده کرد. مسائلی که در آن‌ها از دانش‌آموزان خواسته می‌شود «چه مقدار (تعداد) برای یک ....؟» را پیدا کنند، مسائل مناسب این تعبیر هستند. برای مثال، مسئله‌ی زیر نمونه‌ای از این نوع مسائل است:
یکی از روش‌های مناسب برای انجام تقسیم کسرها، استفاده از قاعده‌ی هم‌مخرج کردن است که با استفاده از آن می‌توان به یادگیری مفهومی رویه‌ی تقسیم کسرها کمک کرد. شکل ۳ حل یک مسئله‌ی تقسیم کسر بر کسر را با استفاده از این راهبرد نشان می‌دهد:
دانش‌آموزان در کتاب ریاضی پایه‌ی ششم با این راهبرد به‌عنوان اولین راهبرد تقسیم کسر بر کسر آشنا می‌شوند. شکل ۴ چگونگی استفاده از این راهبرد را برای حل مسائل تقسیم کسر بر کسر نشان می‌دهد:
یکی دیگر از راهبردهای حل این‌گونه مسائل، استفاده از قاعده‌ی «معکوس و ضرب» یا «کسر اول ضرب در معکوس کسر دوم» است. این قاعده در کتاب ریاضی ششم ابتدایی با دو روش مفهوم‌بخشی شده است. شکل ۵ مفهوم‌بخشی این قاعده را با دو روش نشان می‌دهد:
تخمین‌زدن: ابزاری برای تقویت درک دانش‌آموزان از تقسیم کسرها
یکی از موقعیت‌هایی که می‌تواند درک دانش‌آموزان را از تقسیم کسرها تقویت کند، تخمین زدن یا برآورد کردن است. سؤالاتی مانند اینکه آیا حاصل از ۱ بزرگ‌تر است؟، از ۱ کوچک‌تر است؟، از بزرگ‌تر است یا کوچک‌تر است؟، می‌تواند به درک این مفهوم کمک کند. پیشنهاد می‌شود با تقسیم کسرها بر اعداد طبیعی یا تقسیم اعداد طبیعی بر کسرها شروع کنید و سپس به مسائل تقسیم کسر بر کسر بپردازید. برای مثال، مسئله‌ی زیر نمونه‌ی مناسبی است که با استفاده از آن می‌توان توانایی تخمین زدن دانش‌آموزان و درک آن‌ها از تقسیم کسرها را تقویت کرد:
یک بدفهمی در تقسیم کسر و نحوه‌ی کمک برای برطرف کردن آن
حاصل تقسیم همیشه کوچک‌تر از مقسوم است: بچه‌ها بر پایه‌ی تجربه‌شان در خصوص تقسیم اعداد طبیعی، فکر می‌کنند پاسخ تقسیم باید کوچک‌تر از مقسوم باشد. این قاعده در صورتی درست است که مقسوم‌علیه بزرگ‌تر از ۱ باشد (مانند ۳/۴ )، اما در صورتی که مقسوم‌علیه کوچک‌تر از ۱ باشد (مانند ۲/۵ )، این قاعده درست نیست و حاصل تقسیم همواره بزرگ‌تر از مقسوم خواهد بود. یکی از راه‌های کمک به دانش‌آموزان برای برطرف کردن این بدفهمی، تشویق آن‌ها به تخمین‌زدن حاصل تقسیم قبل از انجام آن است. تخمین‌زدن می‌تواند به دانش‌آموزان کمک کند در خصوص مستدل بودن پاسخ تقسیم کسرها تصمیم بگیرند.
منابع
۱. پندی، زهره؛ داودی، خسرو؛ رحیمی، زهرا؛ رستمی، محمدهاشم؛ ریحانی، ابراهیم و همکاران (۱۳۹۷). ریاضی پنجم دبستان ـ ۲۱. اداره‌ی کل چاپ و توزیع کتاب‌های درسی، چاپ چهارم.
۲. ایزدی، مهدی؛ بیژن‌زاده، محمدحسن؛ پندی، زهره؛ داودی، خسرو؛ ریحانی، ابراهیم و همکاران (۱۳۹۷). ریاضی ششم دبستان ـ ٦/۳٤. اداره‌ی کل چاپ و توزیع کتاب‌های درسی، چاپ سوم.
4. Van de Walle, J. A., Lovin, L,. H., Karp, K. S., & Bay-Williams, J. M. (2014). Teaching Student-Centered Mathematics: Developmentally Appropriate Instruction for Grades PreK-2 (Volume I) (Teaching Student-Centered Mathematics Series).
تقسیم کسرها یا حساب قسمت‌ها: بخش اول