زهرا: این جلسه تکلیف میز با اندازه متغیر را روشن می‌کنیم؟
من: امیدوارم. هفته پیش ناهید گفت که این میز در حالت کوچک خود، یک قرص است که به شش تکه یکسان تقسیم شده است. مانند دایره ABCDEF در شکل 1 در حالت بزرگ‌تر میز، این شش تکه از هم جدا و از مرکز دورتر می‌شوند تا تکه‌های دیگر هم بیایند و دایره بزرگ‌تر را کامل کنند؛ مانند دایره بزرگ‌تر شکل 1.
او گفت قطاع ABZ با دورشدن از مرکز به قطاع MNG تبدیل می‌شود. دو قطاع ABZ و BCZ نیز که در ZB مشترک‌اند، پس از حرکت و تبدیل‌شدن به MNG و OPH از هم فاصله می‌گیرند تا قطعه‌های چوبی دیگر این فاصله را پر کنند. حالا مریم بار دیگر بگوید که چرا این کار شدنی نیست؟
مریم: ببینید. اگر قطاع MNG همان قطاع ABZ باشد، پاره‌خط‌های GM، GN و GY هر سه باید شعاع دایره کوچک باشند. از طرف دیگر، ZM و ZY هم باید شعاع‌های دایره بزرگ‌تر باشند. ولی این شدنی نیست. ما می‌خواهیم ZG+GY=ZY=ZM باشد، اما اگر به جای GY پاره‌خط هم‌طول آن، یعنی GM را جایگزین کنیم، در مثلث ZGM به تساوی غیرقابل‌قبول ZG+GM=ZM خواهیم رسید! طول یک ضلع مثلث با مجموع طول دو ضلع دیگر برابر است!
من: مریم به خوبی تناقض و ایراد روش ناهید را نشان داد و اگر یادتان باشد ادعای بزرگ‌تری داشت! مریم می‌گفت این میز به هر روشی که ساخته شود، هر دو حالت نمی‌توانند دایره باشند. اما با اینکه من نظر مریم را تأیید کردم، او نتوانست حرف خود را اثبات کند. بارها تأکید کرده‌ام که حرف و ادعایی که کاملاً روشن و مشخص نباشد، قابل بررسی و اثبات نیست. الان هم راهنمایی می‌کنم. این حرف مریم که «هر دو حالت نمی‌توانند دایره باشند»، حرف دقیق و مشخصی نیست. به همین خاطر او نتوانست آن را اثبات کند.
مریم: فکر می‌کنم الان بیان دقیقی از این ادعا دارم و می‌توانم آن را اثبات کنم.
من: بیان جدیدت را بنویس تا من ببینم. و اما شما بچه‌ها، تا مریم بنویسد، به یاد بیاورید که در جلسه پیش، معادله را مثال زدیم و لیلا بی‌آنکه به راه‌حل‌ها توجه کند، ثابت کرد که این معادله یک جواب حقیقی بیشتر ندارد. او فرض کرد p و q پاسخ‌های معادله هستند و نتیجه گرفت:
اما مریم به بررسی روش ناهید پرداخت و نشان داد که گفته‌های ناهید تناقض دارد. پس با اینکه حرف‌های مریم درست است، ولی تنها نتیجه‌ای که گرفت این است که اگر این میز در هر دو حالت کوچک و بزرگ دایره شکل باشد، مطابق روش ناهید ساخته نمی‌شود؛ یعنی شاید به روشی دیگر ساخته شده باشد. به هر حال مریم ادعا داشت که «این میز نمی‌تواند در هر دو حالت کوچک و بزرگ دایره باشد». او برای اثبات این ادعا باید بکوشد به روش ساخت توجه نکند و مانند لیلا فکر کند.
زهرا: لیلا فرض کرد که معادله دو پاسخ دارد و آن دو را p و q نامید. با همین فرض‌ها، او ثابت کرد که این دو عدد حقیقی باید برابر باشند. من فکر می‌کنم اینجا هم باید فرض کنیم که هر دو شکل بزرگ و کوچکی که میز به خود می‌گیرد، دایره هستند و این ادعا را بررسی کنیم. خب این نمی‌تواند غلط باشد. این همه دایره کوچک و بزرگ دیده‌ایم و وجود دارند. چرا باید تناقض داشته باشد؟
من: نوشته مریم را دیدم. مریم بیانی بسیار خوب و دقیق دارد و حدس می‌زنم که به‌درستی توانسته است ادعای خود را ثابت کند. پس از مریم می‌خواهم که کمی صبر و سکوت کند تا دیگران هم به بیان دقیق او برسند. زهرا تو شروع خوبی داشتی. روشن است که دایره‌های کوچک و بزرگ وجود دارند. به همین موضوع توجه کن. اینکه میز در دو حالت کوچک و بزرگ دایره است، ادعایی بزرگ‌تر از آن است که «دایره‌های کوچک و بزرگ وجود دارند.»
نفیسه (پس از دو دقیقه): فکر می‌کنم موضوع این است که این دو دایره چنان که در فیلم دیدیم و ناهید هم توضیح داد، در بخش‌هایی مشترک هستند.
من با اشاره نفیسه را تأیید کردم و از او خواستم که سکوت کند.
من (پس از یک دقیقه): خب می‌بینم که خیلی‌ها متوجه شده‌اند. فکر می‌کنم الان با هم‌فکری بتوانیم به بیانی دقیق برسیم.
سوده: فکر می‌کنم باید به این بپردازیم که آیا دو دایره می‌توانند در بخش‌هایی مشترک باشند؟ من قبلاً فکر می‌کردم می‌توانند ولی الان شک کرده‌ام.
من از بچه‌ها خواستم هر کس که می‌تواند پای تخته برود و دو دایره بکشد که در بخش‌هایی مشترک باشد. اعظم رفت و شکل 3 را کشید.
سایه: این دو دایره که بخش مشترکی ندارند! تنها در دو نقطه A و B مشترک هستند. بخش مشترک یعنی یک بخش پیوسته، یک منحنی؛ بخشی که بی‌نهایت نقطه داشته باشد.
اعظم: من این‌قدر پیچیده فکر نکردم. هر دایره را مجموعه‌ای از نقطه‌ها تصور کردم و نشان دادم که این دو دایره دو مجموعه هستند که با هم اشتراک دارند.
من: اعظم درست می‌گوید و اگر همین قدر ساده فکر کنید، شما هم می‌توانید بیان دقیق مریم را پیدا کنید.
نرگس: مطمئن نیستم، ولی فکر می‌کنم دو دایره متمایز حداکثر در دو نقطه می‌توانند مشترک باشند نه بیشتر.
من: نرگس درست می‌گوید. در هندسه قضیه‌ای داریم که بیان می‌کند: «از هر سه نقطه متمایز غیرواقع بر یک خط راست، یک و تنها یک دایره می‌گذرد.» بیان دقیق مریم برای میز خودمان هم چیزی شبیه به همین قضیه از آب در آمده است. او گفته است: «هیچ سه نقطه متمایزی از یک دایره نمی‌توانند روی دایره دیگری باشند.» خب همگی دو دقیقه به همین موضوع فکر کنید تا مریم بیاید و پای تخته اثبات خودش را بنویسد.
مریم: تصور ما این بود که کمان AB که بخشی از دایره کوچک است، حرکت کرد و جابه‌جا شد تا دقیقاً روی کمان MYN جای گرفت و بخشی از دایره بزرگ‌تر شد. این تصور درست نیست. من در شکل 4 سه نقطه متمایز B ،A و C از دایره‌ای به مرکز Z را مشخص کرده‌ام. حالا می‌خواهم فرض کنم نقطه‌ای متمایز از Z وجود دارد که از این سه نقطه به یک فاصله باشد. نشان خواهم داد که این فرض شدنی نیست و تناقض به بار می‌آورد.
Z از دو نقطه A و B به یک فاصله است، پس بنا بر قضیه‌ای که همه می‌دانیم، باید روی عمودمنصف پاره‌خط AB جای داشته باشد و به دلیلی مشابه باید روی عمود منصف BC نیز باشد. از طرف دیگر، نقطه‌های B ،A و C متمایزند، پس وسط‌های آن‌ها نیز متمایز هستند. در نتیجه ZM و ZN دو خط متمایزند.
حال توجه کنیم که اگر نقطه‌ای متفاوت از Z، مانند نقطه W، بخواهد از همین سه نقطه B ،A و C به یک فاصله باشد، بنا بر همان استدلال‌های گفته شده، نقطه W هم باید مانند نقطه Z روی هر دو عمودمنصف‌ها، یعنی ZM و ZN، جای داشته باشد. این یعنی دو خط متمایز ZM و ZN در دو نقطه متمایز W و Z مشترک هستند که نشدنی است. در حقیقت مخالف این اصل هندسه اقلیدسی است که: «از دو نقطه متمایز یک و تنها یک خط می‌گذرد.»
پس روشن شد که دو دایره‌ای که از B ،A و C می‌گذرند، نمی‌توانند دو مرکز متفاوت داشته باشند. به‌سادگی می‌توان دید که در این صورت شعاع‌های متفاوت نیز نمی‌توانند داشته باشند و بنابراین ثابت کردیم که از سه نقطه متمایز دو دایره متفاوت نمی‌گذرند.
من: کار مریم خیلی خوب بود. یک ایراد کوچک در استدلال او هست که البته رفع‌شدنی است. مریم به‌درستی ثابت کرد که M و N متفاوت‌اند، ولی خیلی زود و شتاب‌زده نتیجه گرفت که دو خط ZM و ZN متمایز هستند. در صورتی که حالت دیگری هم ممکن است و باید آن را هم بررسی می‌کرد. حالتی که باید بررسی و رد می‌کرد این است که شاید نقطه N روی خط ZM باشد! به عبارت دیگر، از کجا معلوم که M ،Z و N سه نقطه متمایز نباشند که هر سه در یک امتداد هستند؟ یادآوری می‌کنم که این حالت با توجه به فرض‌های مسئله شدنی نیست، ولی به هر حال مریم باید این مطلب را ثابت کند تا ادعای او را بپذیریم. وقتمان هم تمام شده است. خودتان به این موضوع فکر کنید.