همان‌طور که می‌دانید و در این چند دوره اخیر مجله «رشد برهان ریاضی متوسطه اول» مشاهده کردید، در برگزاری رقابت‌های ورزشی از دانش ریاضی استفاده می‌شود. چنین استفاده‌ای حتی سبب طرح مسئله‌هایی در مسابقه‌های مرتبط با ریاضی شده است. برای مثال، در «مسابقه ریاضی کانگورو» در پایه‌های هفتم و هشتم در سطح متوسط، یعنی چهار امتیازی، در سال 2016 چنین مسئله‌ای مطرح شده است. این مسئله را با اندکی تغییر و در ارتباط با مسابقه‌های جام ملت‌های اروپا 2016 به‌صورت مقابل بیان می‌کنیم:
مسئله: همان‌طور که می‌دانید، بعد از رقابت‌های گروهی در جام ملت‌های اروپا، 16 تیم صعود می‌کنند و ادامه رقابت‌ها را به‌صورت حذفی از مرحله یک‌هشتم نهایی برگزار خواهند کرد. بعد از پایان مسابقه‌ها، ماهان نتیجه‌های مرحله‌های یک‌چهارم نهایی، نیمه‌نهایی و نهایی جام ملت‌های اروپا را نوشت؛ البته نه لزوماً به همان ترتیب:
فرانسه از آلمان، پرتغال از لهستان، فرانسه از ایسلند، پرتغال از فرانسه، آلمان از ایتالیا، ولز از بلژیک و پرتغال از ولز بُرد.
با نتایج اعلام‌شده بالا مسابقه‌های مرتبط با هر سه مرحله حذفی و قهرمان را تعیین کنید و در پایان نمودار حذفی را رسم کنید.
حل: شاید فوتبال‌دوستان عزیز هنوز قهرمان آن دوره و بازی نهایی و اتفاقات آن را یادشان باشد اما اگر یادتان نمی‌آید و شاید آن موقع هنوز چنین مسابقاتی را دنبال نمی‌کردید اکنون با اطلاعاتی که در ارتباط با جام حذفی خواهیم گفت می‌توانید تک‌تک مسابقات هر مرحله را مشخص کنید.
با توجه به اطلاعات بالا و نتایج اعلام‌شده مسابقه‌ها از مرحله یک‌چهارم نهایی، می‌توان به داشته‌های زیردست یافت:
- مرحله یک‌چهارم نهایی با حضور 8 تیم برگزار می‌شود و اگر تعداد تیم‌های بالا را بشماریم، دقیقاً نام 8 تیم فرانسه، آلمان، پرتغال، لهستان، ایسلند، ایتالیا، ولز و بلژیک را مشاهده خواهید کرد.
- تعداد مسابقه‌های اعلام‌شده برابر 7 بازی است که دلیل آن روشن است: 4 بازی در یک‌چهارم نهایی، 2 بازی در نیمه‌نهایی و تک‌بازی نهایی که در مجموع 7 مسابقه را شامل می‌شود.
- نام بعضی تیم‌ها یک بار، نام بعضی تیم‌ها دو بار، و نام بعضی تیم‌ها سه بار آمده است. روشن است، به دلیل وجود سه مرحله، نام هیچ تیمی بیش از سه بار نیامده است.
- با کمی دقت در می‌یابید، تیم‌هایی که نامشان فقط یک بار آمده است، در طرف دوم بازی‌ها اعلام شده‌اند و بازنده مسابقه‌ها بوده‌اند. تعدادشان هم برابر چهار تیم است. این تیم‌ها حذف‌شده‌های مرحله یک‌چهارم نهایی هستند و با حذف‌شدن، مجالی برای بازی بیشتر نداشته‌اند تا نامشان بیشتر بیاید. با این توضیحات نام این تیم‌ها عبارت است از: لهستان، ایسلند، ایتالیا و بلژیک.
- تیم‌هایی که نامشان دو بار آمده است، دارای یک پیروزی و یک شکست هستند و شکست آن‌ها در مرحله نیمه‌نهایی است. آلمان و ولز بازنده‌های مرحله نیمه‌نهایی هستند.
- و بالاخره نام دو تیم از هشت تیم بالا سه بار آمده است که دو تیم فرانسه و پرتغال هستند و مشخص است، بازی نهایی بین این دو کشور بوده است. پرتغال در بازی پایانی، حتی با خروج کریستیانو رونالدو در دقیقه 20 بازی به علت مصدومیت، توانست فرانسه را شکست دهد و برای اولین بار قهرمان اروپا شود.
اکنون می‌توانیم نموداری از مرحله یک‌چهارم نهایی به بعد این مسابقه‌ها رسم کنیم. (به نمودار توجه کنید.)
در مسئله اصلی فقط مسابقه نهایی را خواسته بودند، اما در اینجا، جزئیات بیشتری را بررسی کردیم تا به این بهانه حل کامل‌تری از مسئله نشان داده شود.