پینوکیو در دهکده عجایب

در دو قسمت قبل خواندیم که پینوکیو وارد دهکده عجایب شد؛ دهکده‌ای که هر کدام از اهالی آن یا همیشه دروغ می‌گویند یا همیشه راست و نه هر دو. دیدیم پینوکیو در برخورد با چند نفر از اهالی این دهکده و با راهنمایی فرشته مهربان، چگونه توانست تشخیص دهد هر کدام راست‌گو هستند یا دروغ‌گو. پینوکیو به گردش در این دهکده ادامه می‌داد که دو فروشنده دوره‌گرد را دید؛ یکی با کلاه نارنجی و دیگری با کلاه آبی. پینوکیو دلش می‌خواست از آن‌ها آبنبات بخرد، اما برای اینکه کلاه سرش نرود، فکر کرد بهتر است اول بفهمد کدام‌یک راست‌گو و کدام‌یک دروغ‌گو هستند. 

پینوکیو: سلام آقا. ببخشید، سؤالی دارم. کدام‌یک از شما راست‌گو و کدام‌یک دروغ‌گو هستید؟

کلاه نارنجی: حداقل یکی از ما دروغ‌گوست. یعنی یا من دروغ‌گو هستم یا همکار من (یا هر دو).

پینوکیو به سرعت دفترچه یادداشتش را باز کرد و جمله کلاه‌نارنجی را در آن نوشت. مدتی به جمله خیره ماند. از آنجا که ناامید شده بود که بتواند از این جمله چیزی بفهمد، در دلش آرزو کرد ای‌کاش فرشته مهربان را بار دیگر ببیند. اما از فرشته مهربان هم خبری نبود. پینوکیو با یادآوری اینکه دو معمای قبلی را هم به‌تنهایی توانسته حل کند، اعتمادبه‌نفس گرفت. بنابراین دوباره تلاش کرد. او به تک‌تک کلمات کلاه‌نارنجی خوب فکر کرد. سپس نتیجه گرفت سه حالت ممکن است از این جمله مد نظر کلاه‌نارنجی بوده باشد: 1. فقط کلاه‌نارنجی دروغ‌گو باشد. 2. فقط کلاه‌آبی دروغ‌گو باشد. 3. هم کلاه‌نارنجی و هم کلاه‌آبی دروغ‌گو باشند. سپس بار دیگر توصیه فرشته مهربان را به کار گرفت و حالت‌های متفاوت را در جدول 1 نوشت: پینوکیو با دقت به جدول نگاه کرد. او به خاطر آورد که اهالی این دهکده یا همیشه راست می‌گویند و یا همیشه دروغ و نه هر دو. بنابراین متوجه شد که هر کدام از کلاه‌نارنجی‌ها و کلاه‌آبی‌ها از چه نوعی هستند. پینوکیو بسیار خوش‌حال بود از اینکه توانسته معمای سوم را نیز حل کند. او آبنباتش را خرید و به گشت و گذار در دهکده ادامه داد.

- فکر کنید پینوکیو چگونه براساس جدول 1، توانست تشخیص دهد هر یک از کلاه‌نارنجی و کلاه‌آبی از چه نوعی هستند؟

در شماره قبل با گزاره‌های ساده و مرکب آشنا شدیم. دیدیم گزاره‌هایی که با «و» به هم مربوط می‌شوند در دسته گزاره‌های مرکب قرار می‌گیرند. در این قسمت با نمونه‌ای دیگر از گزاره‌های مرکب آشنا می‌شویم. درواقع گزاره «حداقل یکی از ما دروغ‌گو است» یا گزاره «من یا همکار من دروغ‌گو است»، خلاصه‌شده دو گزاره ساده «من دروغ‌گو هستم» و «همکار من دروغ‌گو است» می‌باشد که با حرف ربط «یا» به هم مربوط شده‌اند و یک گزاره مرکب را تشکیل داده‌اند: من دروغ‌گو هستم یا همکار من دروغ‌گو است.

چنین ترکیبی را ترکیب فصلی می‌نامیم. در منطق، ترکیب فصلی دو گزاره A و B را با نماد A˅B نشان می‌دهیم. مانند ترکیب عطفی دو گزاره، درمورد ترکیب فصلی دو گزاره هم این سؤال مهم به وجود می‌آید که ارزش دو گزاره چه ارتباطی با ارزش ترکیب فصلی آن دو گزاره دارد؟ ابتدا سعی کنید با

کمک مثال‌ها، خودتان جدول 2 را کامل کنید:

همان‌طور که حدس زده‌اید، ارزش ترکیب فصلی دو گزاره، تنها زمانی 0 است که هر دوی آن‌ها ارزش 0 داشته باشند.

همچنین می‌توان رابطه (V(p و (V(q با (V(p˅q را به‌صورت ریاضی بیان کرد.

((V(p˅q) =V(p) +V(q) -(V(p) ×V(q

- تلاش کنید عبارت ریاضی دیگری برای بیان ارتباط (V(p و (V(q با (V(p˅q پیدا کنید.

اکنون آماده‌اید که به معمای سوم پینوکیو در دهکده عجایب برگردیم. فرض کنید «p: کلاه‌نارنجی دروغ‌گو است» و «q: کلاه‌آبی دروغ‌گو است». در این صورت، جمله «حداقل یکی از کلاه‌نارنجی یا کلاه‌آبی دروغ‌گو است» با p˅q نشان داده می‌شود. همان‌طور که در جدول بالا دیده‌اید، چهار حالت بالا برای ارزش گزاره p˅q پیش می‌آید.

پس تنها زمانی که هر دوی کلاه‌نارنجی و کلاه‌آبی راست‌گو باشند، جمله «حداقل یکی از ما دروغ‌گو است» دروغ است. اما در این صورت کلاه‌نارنجی که راست‌گو است جمله‌ای دروغ گفته است و این برخلاف اصل اولیه در این دهکده خواهد بود.

پس باید آن حالتی را از جدول پینوکیو برای معمای دوم انتخاب کنیم که نوع گزاره در ستون آخر (از نظر راست یا دروغ بودن) با نوع کلاه‌نارنجی (از نظر راست‌گو یا دروغ‌گو بودن) مطابقت داشته باشد؛ یعنی کلاه‌نارنجی راست‌گو و کلاه‌آبی دروغ‌گو است.

به نظر می‌رسد که ما در زندگی روزمره رابط «یا» را در معنی‌های مختلفی به کار می‌بریم. اجازه دهید با یک مثال معنی‌های مختلف «یا» را بررسی کنیم. بیشتر ما در مورد موضوع زیر یا انشا نوشته‌ایم یا حداقل درباره آن فکر کرده‌ایم:

علم بهتر است یا ثروت.

فرض کنید p نشان‌دهنده جمله «علم بهتر از ثروت است» و q نشان‌دهنده جمله «ثروت بهتر از علم است» باشد. حال جمله «علم بهتر است یا ثروت» را می‌توان به‌صورت «p یا q» نوشت. ولی با کمی دقت می‌فهمیم که این جمله را می‌توان به صورت‌های مختلف زیر معنی کرد:

1. جمله «علم بهتر است یا ثروت» یعنی دقیقاً یکی از جمله‌های «علم بهتر از ثروت است» یا «ثروت بهتر از علم است» درست هستند و نه هر دو. به عبارت دیگر، «p یا q» وقتی درست است که یا فقط p درست باشد یا فقط q درست باشد و نه هر دو. به این نوع رابط «یای حقیقی» گفته می‌شود. بیایید یای حقیقی را با نماد ˅ نشان دهیم. در این صورت، جمله «علم بهتر است یا ثروت» به گزاره p˅q در منطق ترجمه می‌شود. مثال‌های دیگر از یای حقیقی: «عدد طبیعی یا زوج است یا فرد (و نه هر دو)»، و: «ماهان یا پسر است یا دختر».

2. جمله «علم بهتر است یا ثروت» یعنی یا «علم بهتر از ثروت است» یا «ثروت بهتر از علم است» یا هیچ‌کدام. به عبارت دیگر، «p یا q» وقتی درست است که یا فقط p درست باشد یا فقط q درست باشد یا هیچ‌کدام درست نباشند. به این نوع رابط «یای مانعه‌الجمع» گفته می‌شود، زیرا از درست بودن هم‌زمان دو جمله ممانعت می‌کند. اجازه دهید یای مانعه‌الجمع را با نماد | نشان دهیم. در این صورت، جمله «علم بهتر است یا ثروت» به گزاره‌ی p|q در منطق ترجمه می‌شود. مثال‌های دیگر از یای مانعه‌الجمع: «آرش یا مسلمان است یا مسیحی (یا هیچ‌کدام)»، و: «ماهان یا در خانه است یا در مدرسه».

3. جمله «علم بهتر است یا ثروت» یعنی حداقل یکی از جمله‌های «علم بهتر از ثروت است» یا «ثروت بهتر از علم است» درست است. به عبارت دیگر، «p یا q» وقتی درست است که یا p درست باشد یا q و یا هر دو. به این نوع رابط «یای مانعه‌الرفع» گفته می‌شود، زیرا ممانعت درستی هم‌زمان دو جمله را رفع می‌کند. در منطق یای مانعه‌الرفع را با نماد ˅ نشان دهیم. درواقع این نوع «یا» همان است که در این داستان پینوکیو با آن مواجه شدیم. در این صورت، جمله «علم بهتر است یا ثروت» به گزاره p˅q در منطق ترجمه می‌شود. مثال‌های دیگر از یای مانعه‌الرفع: «عامل سکته قلبی یا چربی است یا ژنتیک (یا هر دو)»، و: «ماهان یا معلم است یا شاعر».

حتماً تا اینجا دریافته‌اید که با استفاده از معناهای مختلف «یا» در این جمله، به سادگی می‌توان بحث‌های مختلفی را که در مورد جمله «علم بهتر است یا ثروت» میان ما درمی‌گیرد، بررسی کرد. به طور کلی، منطق به ما کمک می‌کند تا در گفت‌وگوهای روزمره، بتوانیم برداشت درست‌تری از منظور طرف مقابلمان پیدا کنیم و خودمان نیز دقیق‌تر آنچه را در نظر داریم، بیان کنیم تا کمتر دچار سوءتفاهم شویم.

- با دقت در گفت‌وگوهای روزمره، مثال‌های دیگری برای این سه نوع ترکیب فصلی ارائه دهید.

- پیش از این سعی کردید جدولی رسم کنید و ارزش p˅q را با استفاده از ارزش p و ارزش q تعیین کنید. حال با استفاده از توضیحاتی که در بالا داده شد، آیا می‌توانید دو جدول رسم کنید و ارزش p˅q و همچنین ارزش p|q را با استفاده از ارزش‌های p و q تعیین کنید؟