تقسیم؛ از مفاهیم مرتبط با کسر
کسر یکی از مفاهیم مهم ریاضی است که به دلیل کاربرد فراوانش در ریاضیات و زندگی روزمره‌ی انسان اهمیت فراوانی دارد. اما با وجود این، افراد در یادگیری و کار با این مفهوم مشکلات فراوانی دارند. مفهوم تقسیم کسرها نمونه‌ای از مفاهیم مرتبط با کسرهاست که افراد درک ضعیفی از آن دارند. با آنکه ممکن است خیلی‌ها توانایی محاسبه‌ی عبارات شامل تقسیم کسرها را با استفاده از قاعده‌ی «معکوس و ضرب» یا به عبارت ساده‌تر «کسر اول ضرب در معکوس کسر دوم» داشته باشند، اما درک درستی از مفهوم تقسیم کسرها، موقعیت‌های ریاضیاتی و واقعی متناظر با این مفهوم و عمل و چرایی استفاده از این قاعده برای انجام کسرها را ندارند. از طرف دیگر، افراد معمولاً مفهوم تقسیم اعداد طبیعی را به راحتی درک می‌کنند و توانایی انجام محاسبه‌ی آن را به‌طور معنادار دارند. سؤال مهم این است که چرا با وجود سهولت در درک تقسیم اعداد طبیعی، در درک تقسیم اعداد کسری با مشکلات فراوانی مواجه می‌شوند. یکی از دلایل می‌تواند این باشد که در جریان آموزش، درک دانش‌آموز از تقسیم اعداد کسری، به خوبی بر پایه‌ی درک او از تقسیم اعداد طبیعی بنا نهاده نمی‌شود. به همین دلیل، او نمی‌تواند ارتباط معناداری بین این دو مفهوم (تقسیم اعداد طبیعی و تقسیم کسرها) برقرار کند و از درکی که از تقسیم اعداد طبیعی دارد، در توسعه‌ی درکش در تقسیم کسرها استفاده کند. این مقاله سعی دارد با اشاره به ابعاد تقسیم کسرها، ارتباط معناداری با تقسیم اعداد طبیعی برقرار کند و از آن طریق درباره‌ی چگونگی تسهیل یادگیری دانش‌آموزان از مفهوم تقسیم کسرها بحث کند.
مسائل کلامی ضرب و تقسیم اعداد طبیعی
مسائل کلامی ضرب در حوزه‌ی اعداد طبیعی در چهار دسته طبقه‌بندی می‌شوند: ۱. گروه‌های مساوی و نرخ؛ ۲. مقایسه؛ ۳. آرایش (چیدمان) مستطیلی و مساحت؛ ۴. ترکیب‌ها.
با توجه به اینکه عمل تقسیم عکس عمل ضرب است، مسائل کلامی تقسیم نیز در این حوزه‌ی اعداد به دو دسته‌ی کلی «تقسیم بخشی» و «تقسیم اندازه» طبقه‌بندی می‌شوند. جدول ۱ دسته‌بندی مسائل را به همراه مثال و چگونگی ارتباط بین مسائل ضرب و تقسیم نشان می‌دهد:
کسر و تقسیم
خیلی از دانش‌آموزان در تشخیص اینکه در چه موقعیت‌هایی می‌توان از مفهوم تقسیم کسرها استفاده کرد، مشکل دارند. برای مشاهده‌ی این واقعیت، پیشنهاد می‌شود از دانش‌آموزان کلاس خود بخواهید برای عبارت ۲/۳ ÷ ۴/۵ یک مسئله‌ی کلامی طرح کنند. به احتمال زیاد، مشاهده خواهید کرد که خیلی‌ها توانایی طرح مسئله‌ی مناسب و درست برای این عبارت را ندارند. دلیل این ضعف در این است که آن‌ها درک درستی از مفهوم تقسیم کسر و موقعیت‌هایی که این مفهوم می‌تواند در آن‌ها استفاده شود، ندارند. همچنین، می‌توانید از آن‌ها سؤال کنید چرا در تقسیم کسرها، کسر اول را در معکوس کسر دوم ضرب می‌کنند. پاسخ این سؤال نیز می‌تواند نشان‌دهنده‌ی دانش مفهومی آن‌ها از نحوه‌ی انجام تقسیم کسر باشد.
دانش‌آموزان برای درک تقسیم کسر به درک دو ایده‌ی تقسیم‌بندی به قسمت‌های مساوی و تکرار نیاز دارند. تقسیم‌بندی به قسمت‌های مساوی، همان‌طور که از نامش پیداست، یعنی قسمت‌قسمت کردن یک شکل به قسمت‌های با اندازه‌ی مساوی. منظور از تکرار نیز یعنی شمارش یا تکرار بخش‌های کسری. تکرار می‌تواند در درک رابطه‌ی بین قسمت‌ها (صورت کسر) و کل (مخرج کسر) به دانش‌آموزان کمک کند. در تکرار باید بر دو ایده در مورد نمادهای کسری تمرکز شود.
۱. عدد بالا (صورت)، می‌شمارد.
۲. عدد پایین (مخرج)، چیستی آنچه را عدد بالا (صورت) می‌شمارد، بیان می‌کند.
برای مثال، دانش‌آموزان باید با توجه به کسر مربوط به شکل زیر که ۳/۴ است، این درک را داشته باشند که ۳ نشان‌دهنده‌ی تعداد قسمت‌هایی از شکل است که هر کدام از آن‌ها ۱/۴ هستند، یا باید بتوانند این واقعیت را درک کنند که ۵/۷، یعنی تکرار ۵ باره قسمتی از یک شکل که ۱/۷ است. (۱/۷ × ۵ = ۵/۷)
تقسیم کسرها بر چهار نوع از مسائل تمرکز دارد که با توالی توسعه‌ای در کتاب‌های درسی ریاضی دوره‌ی ابتدایی ارائه می‌شوند. جدول ۲ این چهار نوع مسئله را به همراه توالی آن‌ها در کتاب‌ها و مصداق‌هایشان نشان می‌دهد:
حال قصد داریم هر یک از این مسائل را به دو تقسیم بخشی و اندازه که دانش‌آموزان در حوزه‌ی اعداد طبیعی با آن آشنا شدند، مرتبط کنیم تا از این طریق درک آن‌ها در خصوص تقسیم کسرها را بر پایه‌ی دانش قبلی آن‌ها از اعداد طبیعی و اعمال مرتبط با اعداد طبیعی بنا کنیم.
تقسیم یک عدد طبیعی بر یک عدد طبیعی
تقسیم بخشی یا تسهیم مساوی زمینه‌ی مناسبی است که می‌توان تقسیم یک عدد طبیعی بر یک عدد طبیعی را بر اساس آن تعبیر کرد. دانش‌آموزان به راحتی مفهوم به‌طور مساوی تقسیم کردن را درک می‌کنند (برای مثال، ۴ کیک به‌طور مساوی بین ۳ نفر تقسیم شده است). به دلیل اینکه این نوع تقسیم به‌طور بنیادی با تقسیم بخشی گره خورده است، تکالیف مرتبط با تقسیم‌بندی مساوی بین چند نفر (تسهیم مساوی)، یکی از زمینه‌های مناسب برای آموزش این نوع تقسیم است. حاصل این تسهیم می‌تواند قسمت کسری باشد. برای مثال، اگر بخواهیم پنج کیک را به‌طور مساوی بین ۳ نفر تقسیم کنیم (۳÷۵)، می‌بینید که سهم هر نفر ۵ تا خواهد شد. شکل ۷ نتایج این تقسیم‌بندی را نشان می‌دهد:
در ۵/۳ = ۱/۳ × ۵ = ۳÷ ۵ عبارت اول (۳÷۵) به این معنی است که پنج کیک به‌طور مساوی بین ۳ نفر تقسیم شده است. عبارت دوم به این معنی است که از هر کیکی، ۱/۳ آن به هر نفر می‌رسد (سهم هر نفر از هر کیک) و عبارت آخر (۵/۳) ، سهم هر نفر از کل کیک‌هاست. دانش‌آموزان باید قادر به دیدن این ارتباط و معانی هر یک از این عبارات هم‌ارز (معادل) باشند. دانش‌آموزان ملاحظه می‌کنند که تقسیم یک عدد بر یک عدد، همانند ضرب یک عدد در یک کسر واحد۱ است. یکی از نکاتی که از همین ابتدا باید توجه آن‌ها به آن جلب شود، چگونگی تبدیل تقسیم به ضرب است. این توجه در پایان یادگیری تقسیم کسرها کمک می‌کند آنان درک مفهومی مناسبی از چگونگی انجام تقسیم کسرها (چرایی درست بودن قاعده‌ی «کسر اول ضرب در کسر دوم») داشته باشند.
تقسیم یک عدد طبیعی بر یک عدد طبیعی
زمینه‌ی مناسب برای تعبیر این نوع مسائل، همانند مسائل مربوط به تقسیم یک عدد طبیعی بر یک عدد طبیعی، تقسیم بخشی است که با استفاده از آن دانش‌آموزان می‌توانند به راحتی این نوع تقسیم را تعبیر و موقعیت‌های ریاضیاتی و واقعی مرتبط با آن را درک کنند. معمولاً در تقسیم بخشی (تسهیم مساوی)، از دانش‌آموزان مواردی همانند «سهم هر نفر چقدر است؟»، «میزان سرعت هواپیما یا ماشین در هر ساعت را به‌دست آورید»، «چه مقدار پارچه برای دوخت یک چادر موردنیاز است؟» خواسته می‌شود که همه‌ی آن‌ها با مقدار یا سهم هر یک از گروه‌ها در تقسیم‌بندی مساوی مقدار کل داده شده مرتبط هستند. برای مثال، در معرفی این نوع مسائل در کتاب ریاضی پایه‌ی پنجم ابتدایی، از دانش‌آموزان خواسته شده است حاصل تقسیم ۱/۳ یک زمین برای ساخت دو سالن ورزشی را به‌دست آورند. شکل ۸ نحوه‌ی حل آن را نشان می‌دهد.
دانش‌آموزان در جریان حل این نوع مسئله درمی‌یابند که همانند مسائل نوع اول (تقسیم عدد بر عدد)، باید تقسیم را به ضرب تبدیل کنند. در صفحه‌ی ۳۷ کتاب ریاضی پایه‌ی پنجم ابتدایی، این موضوع برای دانش‌آموزان مفهوم‌بخشی شده است (شکل ۹). یکی از پیش‌نیازهای این مفهوم‌بخشی، درک دانش‌آموزان از خاصیت جابه‌جایی ضرب کسرهاست. در صفحه‌ی ۳۴ این کتاب، در قالب یک سؤال، سعی شده است دانش‌آموزان این قاعده را در خصوص ضرب کسرها، همانند ضرب اعداد حسابی، درک کنند (شکل ۹).
یکی از نکات آموزشی که خیلی می‌تواند برای دانش‌آموزان مفید باشد، استفاده از گفت‌و‌گو و بحث کردن در خصوص موقعیت‌هایی است که این نوع مسائل می‌تواند در آن‌ها کاربرد داشته باشد. پرسیدن سؤالی مانند این سؤال و بحث در مورد آن، خیلی می‌تواند به دانش‌آموزان کمک کند:
چه موقعیت‌هایی می‌تواند مناسب عبارت ۴ ÷ ۱/۵ باشد؟
موقعیت‌های بسیاری می‌توانند با این نوع مسئله متناظر باشند. می‌توان این موقعیت‌ها را در سه دسته‌ی «مرتبط با مساحت، مدل‌های خطی و مجموعه»، دسته‌بندی کرد. در زیر، برای هر موقعیت یک مثال برای نمونه ارائه شده است:
۱. می‌خواهیم ۱/۵ زمین را به‌طور مساوی بین ۴ نفر تقسیم کنیم. چه کسری از زمین به هر نفر می‌رسد؟ (مساحت)
۲. اگر بخواهیم ۱/۵ آب یک کلمن را به طور مساوی در چهار ظرف بریزیم، در هر ظرف چه کسری از آب کلمن جای می‌گیرد؟ (خطی)
۳. اگر علی بخواهد ۱/۵ شکلات‌هایش را بین ۴ نفر از دوستانش به‌طور مساوی تقسیم کند، به هر کدام چند شکلات می‌رسد؟ (مجموعه)
دانش‌آموزان پس از انجام تقسیم یک کسر بر یک عدد طبیعی می‌توانند با موقعیت‌هایی مواجه شوند که در آن‌ها اعداد مخلوط بر یک عدد طبیعی تقسیم می‌شوند. سؤالی مانند «مریم می‌خواهد با متر پارچه چهار روبان هم‌اندازه درست کند، طول هر روبان چند متر خواهد بود» می‌تواند مناسب باشد. دانش‌آموزان می‌توانند برای حل این مسئله از روش‌های متفاوتی استفاده کنند. یکی از روش‌ها تبدیل عدد مخلوط به کسر و استفاده از قاعده‌ای است که در خصوص تقسیم یک کسر بر یک عدد طبیعی یاد گرفته‌اند. یا اینکه می‌توانند به‌صورت مفهومی و با استفاده از ابزارهای دست‌ورزی و بصری به حل این مسئله بپردازند. جدول ۳، برای نمونه، دو روش حل این مسئله را نشان می‌دهد.
علاوه بر این نوع مسائل که دانش‌آموزان بدون نیاز به تقسیم‌بندی مجدد شکل‌ها می‌توانند مسائل مرتبط با تقسیم یک کسر بر یک عدد طبیعی را حل کنند، آن‌ها نیازمند مواجه شدن با مسائلی هستند که در آن‌ها دانش‌آموزان برای حل مسئله، به تقسیم‌بندی مجدد واحدها و قسمت‌های کسری نیاز دارند. برای نمونه، در حل مسئله‌ی زیر دانش‌آموزان با استفاده از بازنمایی‌های غیرعددی، به تقسیم‌بندی مجدد قسمت‌ها نیاز دارند.
مریم ۱/۴ ۱ ساعت برای انجام ۳ تکلیف مدرسه‌اش نیاز دارد. اگر او این زمان را به‌طور مساوی برای انجام این ۳ تکلیف تقسیم کند، چه مقدار زمان برای انجام هر یک از این تکلیف‌ها اختصاص می‌یابد؟
جدول ۴ حل این مسئله را با سه مدل مساحت، خطی و مجموعه نشان می‌دهد. البته دانش‌آموزان می‌توانند این مسئله را با استفاده از قاعده‌ی تبدیل تقسیم به ضرب حل کنند، اما علاوه بر آن‌ها، استفاده از این مدل‌های بصری می‌تواند به درک آن‌ها از تقسیم کسرها کمک کند.
در این مقاله، ضمن مرور مسائل مرتبط با ضرب و تقسیم اعداد طبیعی، به بررسی دو نوع مسئله‌ی تقسیم کسر پرداختیم. در هر دو مورد ملاحظه کردید که می‌توان آن‌ها را به راحتی با تقسیم بخشی تعبیر و انجام داد. این موضوع به درک دانش‌آموزان از تقسیم کسرها کمک می‌کند. در مقاله‌ی بعد، به بررسی دو نوع دیگر از مسائل تقسیم کسرها (تقسیم یک عدد طبیعی بر کسر و تقسیم یک کسر بر کسر) و چگونگی تعبیر آن‌ها با استفاده از دو تقسیم بخشی و اندازه می‌پردازیم.
پی‌نوشت:
۱.کسر واحد، کسری است که صورت آن عدد ۱ است.
منابع:
۱. زهره پندی.خسرو داودی و دیگران. (۱۳۹۷). ریاضی پنجم دبستان.۲۱. اداره‌ی کل چاپ و توزیع کتاب‌های درسی. چاپ چهارم.
۲. مهدی ایزدی. محمدحسن بیژن‌زاده و دیگران. (۱۳۹۷). ریاضی ششم دبستان. ۳٤/٦. اداره‌ی کل چاپ و توزیع کتاب‌های درسی. چاپ سوم.
3. Van de Walle, J. A., Lovin, L. H., Karp, K. S., &
Bay-Williams, J. M. (2014). Teaching Student-Centered Mathematics:
Developmentally Appropriate Instruction for Grades PreK-2 (Volume I)(Teaching
Student-Centered Mathematics Series).
تقسیم کسرها: بخش دوم