معنای رضایتمندی

مقدمه

گاهی اوقات ساختارهای ریاضی به منظور رضایت‌مندی طراحی شده‌اند. آن‌ها نه برای خدمت به بشر، بلکه برای مسحور کردن خلق شده‌اند، و با ما زندگی کرده‌اند، نه تنها به این دلیل که واقعیت دارند بلکه به این دلیل که ما را مسحور و شیفته خود می‌کنند. این ساختار‌ها، توجه ما را جلب می‌کنند زیرا تعجب و لذت را برمی‌انگیزند.

ریاضیاتی که لذت‌بخش است و باعث رضایت‌مندی درونی افراد می‌شود، تازه نیست. اما من فکر می‌کنم که برخی مسائل در صد سال گذشته و یا بیشتر از آن تغییر کرده است. ریاضیاتی که به‌طور خاص برای احساس رضایت خلق شده، امروزه مورد توجه بیشتری قرار گرفته است و در این زمان، به نظر می‌رسد که ریاضی‌دانان (یا اشخاص دیگر) بیشتری باشند که خوشی‌های فردی یا عمومی‌شان، علت رضایت‌مندی مخلوقات ریاضی‌شان باشد. ساختارهای ریاضی متقاعد‌کننده، افرادی که آن‌ها را پیدا می‌کنند و یا می‌سازند و جامعه‌ای که پذیرای آن‌ها می‌شوند، علت تمرکز این نوشتار بر این موضوع است.

من اینک این بحث را با صحبت کوتاهی در مورد ساختارهای ریاضی، لذت‌های ریاضی و غرض اصلی از خلق آن‌ها آغاز می‌کنم، سپس به شما پدیده‌ای غیرمنتظره را نشان خواهم داد.

دراین جهان، تخصص ریاضی امری ویژه است. اما مهم‌تر از آن، توانایی درک زیبایی ریاضی است و از همه مهم‌تر، داشتن هوش و حساسیت برای خلق ساختارهای زیبای ریاضی است که آنچنان که معلوم است، چندان هم نایاب نیست. من در سال گذشته، یک دوره آموزشی برای دانشجویان برگزار کردم که برای آن، هیچ پیش‌زمینه ریاضی مورد نیاز نبود. من بعد از آنکه به آن‌ها برخی پیش‌نیازها و برخی مطالب مربوط به زیبایی‌های ریاضی را آموزش دادم، از دانشجویان خواستم که ساختارهایی را خلق کنند، آن‌ها چنین کردند و به نتایج زیبایی دست یافتند.

وقتی این مقدمه به پایان رسید، به شما سه نمونه از این نتایج را نشان خواهم داد:

یک پازل (جورچین)

یک حرکت نمایشی¹

و ... ساختار دیگر

ساختارهای ریاضی

ما نمی‌خواهیم با «ریاضی» سر و کار داشته باشیم. متأسفانه تعریف «ریاضی» به شکل وحشتناکی دشوار است. فیلسوفان و ریاضی‌دانان از دیرباز، بر سر مسائلی چون حقیقت، بصیرت، معنا و وجود، نزاع داشته‌اند. به جای «ریاضی»، ما «ساختارهای ریاضی» را مورد بحث قرار خواهیم داد. به نظر می‌رسد که تعریف این موضوع، تا حدی آسان است. من به‌طور ساده به دانشجویانم می‌گویم که:

یک ساختار ریاضی چیزی است که بتوان آن را به‌طور کامل و بدون هیچ ابهامی، شرح داد.

هر چیزی که ما به‌طور طبیعی به‌عنوان یک ساختار ریاضی می‌شناسیم، در این تعریف صدق می‌کند. اما هر چیزی در جهان فیزیکی، در این تعریف صدق نمی‌کند.

این تعریف، برای هر کس با معلومات ابتدایی ریاضی، تعریف کامل است. بسیاری از افراد، از کلاس‌های ریاضی خود پشیمانی و اضطراب را به خاطر می‌آورند. آن‌ها با زبان و ادبیات، راحت‌تر هستند. بنابراین برایشان این تعریف ساده‌تر و معنادارتر است.

این تعریف، نه چیزی درباره جذابیت، زیبایی یا اهمیت یک ساختار می‌گوید و نه در مورد توانایی آن ساختار در ایجاد رضایت‌مندی حرفی به میان می‌آورد. این‌ها چیزهایی است که در بخش بعد خواهیم دید.

رضایت‌مندی از ریاضی

ساختارهای موجود در این قسمت، باید بر اساس حس رضایتی که برایمان فراهم می‌کنند، مورد قضاوت قرار گیرند. بسیار سخت است که مفهوم رضایت‌مندی یا لذت بردن از ریاضی را تشریح نمود. قطعاً این رضایت‌مندی، شامل آنچه که ما آن را به‌عنوان زیبایی ریاضی می‌شناسیم، خواهد بود. اما رضایت‌مندی ریاضی بیشتر از این است. برای مثال، رضایت‌مندی حل یک مسئله، رضایت‌مندی دیدن یک راه‌حل ریاضی و رضایت‌مندی‌ای که از یک مسئله گیج‌کننده وجود دارد، بخشی از این رضایت‌مندی‌ها است.

رابرت توماس² می‌گوید که ظرافت‌ها و زیبایی‌های ریاضی، باید شامل حس رضایتی باشد که توسط یک کار تولید می‌شود. توماس تعریف مؤثر و قابل استفاده زیر را پیشنهاد می‌دهد:

اگر یک ساختار ریاضی مورد علاقه واقع شود، به بازی گرفته شود، مورد بررسی قرار گیرد و کشف شود، آن‌گاه آن ساختار ریاضی، ایجاد رضایت درون می‌کند.

هدف

میراثی غنی وجود دارد که شامل ریاضیاتی است که باعث رضایت‌مندی می‌شود. ما وارثان سه هزار ساله چیزهای باشکوه هستیم. در هر حال، آنچه علاقه و توجه مرا به خود جلب کرده، ریاضی است که به خودی خود، جذاب است.

دانستن نیت خالق یک ساختار، دشوار است. برای ریاضی‌دانان قبل از سال 1900، مطمئن بودن در مورد آنچه مورد توجهشان بوده است، تا حدی ناممکن بود، در صورتی‌که برای ریاضی‌دانان معاصر، شواهدی برای مطمئن شدن، موجود است. در ستونی که مارتین گاردنر³ در مجله ساینتیفیک امریکن⁴ داشت، از ریاضی به‌طور مستمر، تجلیل می‌شد. در آن ستون، ساختارهایی توسط جان هورتون کانوی⁵، دونالد نات⁶ و بسیاری دیگر به ما معرفی می‌شدند که این ساختارها، به‌وضوح برای قلقلک دادن، گیج کردن، تحریک نمودن، متعجب کردن و سردرگمی خوانندگان طراحی شده بودند. وجود ستون گاردنر در این مجله، ریاضی‌دانان را برانگیخت که ساختارهایی تولید کنند، که می‌توانند خیره‌کننده یا فریبنده باشند.

این نوشته، ممکن است به چه جاهایی برسد؟

امیدوارم در مجله‌های مختلف ستون‌هایی در مورد مسائل زیر تولید شوند:

 - آثار پدیدآورندگان فردی مانند کانوی، نات، پیت هین⁷ و زنده‌یاد ریموند اسمولیان⁸؛

 - ژانرها یا زیرژانرهای خاص: بازی‌های برد و باخت، نظام‌های شمارشی، شگردهای بازی با کارت و نظایر آن؛

 - خلاقیت نیکولی⁹؛

 - لوکا پاسولی¹⁰ و دوریبس کوانتیتاتیس¹¹؛

 - بازی‌های سید ساکسون¹²؛

 - پازل‌های جعبه امتیاز از جری باترز¹³؛

 - حرکات نمایشی و ملودی‌های مختلف؛

 - جدال‌هایی بر سر ساختار‌ها، هنرهای زیبا، و تاریخ؛

- مسابقات قهرمانی پازل یو. اس¹⁴

- و (هر زمان که امکان داشت) آخرین موضوع‌های جدید.

و اکنون، از دانشجویانم می‌خواهم که به موضوع‌های جذاب زیر، فکر کنند. 

یک شکل جورچین

جورچین‌ها می‌توانند ساختارهایی ریاضی باشند. آن‌ها یقیناً می‌توانند لذت‌بخش باشند. اما وقتی یک جورچین حل می‌شود، بیشتر جذابیتش را از دست می‌دهد! اکثر ما، وقتی سودوکو حل می‌کنیم (یا حتی آن را خراب می‌کنیم) دورش می‌اندازیم. اما سودوکو را به‌عنوان یک شکل پازلی در نظر بگیرید و به آن، به شکل مجموعه‌ای از قوانین بنگرید که برای آن، یک پازل سودوکو تشکیل شده است. به‌عنوان یک شکل پازلی، سودوکو به گونه‌ای شگفت‌آور، یک ساختار ریاضی موفق است که همگان آن را با آغوش گرم پذیرفته‌اند. هزاران و شاید صدها هزاران جدول سودوکو ساخته شده و مورد رضایت‌مندی واقع شده است.

سودوکو، اختراعی از یک معمار آمریکایی به نام هوارد گارنز¹⁵ است که نخستین جدول‌های سودوکو را در سال 1979 منتشر کرد. من مطمئنم هدف گارنز از اختراعش، لذت بردن از آن بود.

ما اکنون در عصر طلایی جورچین‌ها زندگی می‌کنیم. امروزه سودوکو، توسط شماری از شکل‌های پازلی جذاب ادامه یافته است. شرکت انتشاراتی ژاپنی نیکولی مسئول بسیاری از این‌ها است. شیکاکو¹⁶، ماسیو¹⁷، نوریکاب¹⁸ و اسلیترلینک¹⁹، پازل‌های بسیار زیاد دیگری ساخته‌اند.

یک سال پیش، دانشجوی من اواماری اولسون²⁰ جورچینی ساخت که آن را «نجات گوسفند» نامیده بود.

یک جورچین نجات گوسفند، یک صفحه شطرنجی با گوسفندهاست (شکل 1).

برای حل این جورچین، شما باید حصاری بکشید که همه گوسفندان، در یک سمت آن باشند. با این قوانین که حصار نمی‌تواند از یک نقطه از این شبکه شطرنجی دو مرتبه عبور کند و باید دقیقاً شامل دو ضلع از هر مربعی باشد که گوسفندی در آن است. (شکل 2)

خوشبختانه، من هدف اواماری را از ساخت این جورچین می‌دانم. زیرا مسئله‌ای که به‌عنوان تکلیف به آن‌ها داده بودم، خلق یک شکل جورچین لذت‌بخش بود.

در شکل 3، جدول نجات گوسفند پیچیده‌تری را مشاهده می‌کنید.

آیا این شکل جورچین، خوب است؟ چطور آن را ارزیابی می‌کنیم؟ در این مرحله، نمی‌توانم بگویم که بازی نجات گوسفند تا چه حد موفق است.

تنها می‌توانم بگویم که این بازی، مرا جذب کرد و البته در پیدا کردن بهترین مسیر، مجذوبم کرد. من خواستم که بازی‌های نجات گوسفند را بسازم و برای این کار، با حسی منطقی در ریاضی به سمت آن کشیده می‌شدم. می‌خواستم احتمالات ممکن را کشف کنم.

چیزی که در شکل 4 با آن روبه‌رو شدم، یک پازل نجات گوسفند واقعاً پیچیده است که تنها یک جواب دارد.

من جواب‌های این پازل را در زمان مناسب در سایت زیر خواهم گذاشت:

www.math.smith.edu/jhenle/pleasingmath/

اگر شما هم با این شکل جورچین سر و کله زده‌اید، جورچین‌های نجات گوسفند خود و همچنین نظراتتان را برایم به آدرس زیر ارسال کنید.

pleasingmath@gmail.com  

یک حرکت نمایشی

واقعیت، یک ساختار ریاضی نیست. اما جنبه‌هایی از واقعیت، ریاضی‌وار هستند. یک حرکت نمایشی را در نظر بگیرید. تشریح حرکات و حدس‌های یک بازیگر²¹ به‌طور کامل و بدون ابهام، ناممکن است. از طرف دیگر، اگر ما توجهمان را به مکان قرار گرفتن بازیگران در زمین‌های قسمت بندی شده (مثلاً روی یک صفحه شطرنجی) محدود کنیم، آن‌گاه ما یک ساختار ریاضی داریم. نمونه‌هایی از دستگاه‌های نمادین برای بسیاری از مدل‌های حرکات نمایشی موجود است و این نمونه‌ها، متضمن جنبه‌های ریاضی‌شان است. دانشجویان من- کونی آدامسون²²، ویکتوریا نومپلگی²³، هلی پترسون²⁴ و دزیره ویولا²⁵- با بهره‌گیری از ساختار ریاضی، یک نمونه حرکت نمایشی ابداع کردند. پنج بازیگر که با شماره‌های 1، 2، 3، 4 و 5 نام‌گذاری شده‌اند، ممکن است شبیه شکل 5 رقصیدن را آغاز کنند.

در این حرکت نمایشی که آن را «اردک، اردک، غاز»²⁶ نامیده‌اند، یک بازیگر از بیرون دایره، در جایگاه بالایی شروع می‌کند. زمانی که نمایش شروع می‌شود او در جهت حرکت عقربه‌های ساعت یک گام حرکت می‌کند زیرا او شماره «1» است (شکل 6). سپس بازیگران 1 و 3 مکانشان را با هم عوض می‌کنند و شماره 3، سه مکان حول دایره حرکت می‌کند، به این دلیل که او بازیگر شماره «3» است. (شکل 7)

اکنون بازیگران 3 و 2، مکانشان را با هم عوض می‌کنند و نمایش به شیوه‌ای مشابه ادامه می‌یابد تا زمانی که به شکل اولیه بازگردند.

«اردک، اردک، غاز» خصوصاً یکی از ابداع‌کننده‌هایش را گیج کرد. هِلی دریافت که 20 گام لازم است که به ترکیب اولیه بازگردند. او می‌خواست دلیل این امر را بداند. آغاز کردن نمایش با ترکیب‌های دیگری از پنج بازیگر به ارقام متفاوتی از گام‌ها و جهت بازگشت به ترکیب نخستین، منجر می‌شد: 2، 4، 36

و مانند آن مثلاً برای این ترکیب (شکل 8)، 22 مرحله لازم بود که به شکل اولیه بازگردند. چرا 22؟ و او می‌خواست بداند که چرا همه این ارقام زوج هستند؟

ما (خودم و کلاسم) برای مشاهده این ساختار، مجدداً باید به قضاوت منتقدین تکیه کنیم. من دریافتم که «اردک، اردک، غاز» به اندازه کافی جالب توجه هست که برنامه‌هایی را برای کشف آن در نظر بگیریم. اگر هر خواننده‌ای در این خصوص دیدگاهی دارد با من (و هلی) در میان بگذارد!

خلاقیت ریاضی آن‌قدرها هم نادر نیست

خلق یک ساختار ریاضی، سخت نیست. این امر، نبوغ ریاضی خارق‌العاده‌ای نمی‌خواهد. اما یک ساختار ریاضی شگرف چطور؟ یک ساختار ریاضی که لذت‌های ریاضی‌وار نصیبمان می‌کند چطور؟

خلق ساختارهای دلپذیر هم دشوار نیست. این امر شبیه گرفتن عکس‌های فوق‌العاده است. یک عکاس واقعی، عکس‌های فراوانی می‌گیرد. او بیشتر آن‌ها را دور خواهد انداخت. بهترین‌هایشان نسبتاً خوب هستند. اما فقط یکی ممکن است تماشایی و چشم‌گیر باشد

یکی دیگر از دانشجویان کلاس، ساشا رزنتال²⁷، چیزی را که آن را «چند ضلعی بی‌نهایت²⁸» نامید، ابداع کرد. در اصل، او یک دسته جدید از شکل‌ها را تعریف کرد. شکل‌های او، از یک صفحه شطرنجی از مربع‌های واحد، در طول خطوط این صفحه شطرنجی بریده شده است. ساشا می‌خواست که تعداد اضلاع این شکل‌ها، دقیقاً دو برابر مساحت آن‌ها باشد. (شکل 9)

من قصد دارم که این اشکال را «ناگل»²⁹ بنامم زیرا همان‌طور که می‌بینید، شبیه آجرهای دیوار روی هم چیده شده، هستند.

از هر یک از اندازه‌های دو و سه، تنها یک ناگل موجود است. هیچ ناگلی از اندازه 1 موجود نیست، اما ساشا یک مربع تک را هم به‌طور افتخاری یک ناگل در نظر گرفت.

شما با ناگل‌ها چه می‌کنید؟ می‌توانید آن‌ها را کنار هم بگذارید که شکل‌های جدید بسازید، شبیه شکل‌های سولمون گولومب³⁰ که با پنتومینوها³¹ ساخته شده‌اند. اما امکانات ناگل‌ها بسیار بیشتر از پنتومینوهاست به این دلیل که بی‌نهایت ناگل متمایز وجود دارد. ساشا از ناگل‌ها، مربع‌های 2×2، 3×3 و 4×4 ساخت. در هر مورد، همگی «ناگل‌های» مورد استفاده متمایز بودند. من دریافتم که شما می‌توانید با استفاده از «ناگل‌های» متمایز، هر نوع مربعی را بسازید. اما اینجا یک چالش وجود دارد:

من و ساشا متوجه شدیم که:

 62=36=8+7+6+5+4+3+2+1

و خواستیم بدانیم که شما می‌توانید یک مربع 6×6 با استفاده از یک ناگل از هر یک از هشت اندازه بالا بسازید.

شما می‌توانید. یک پاسخ برای این کار را بعداً (در فرصت مناسب) در وب‌سایت خواهم گذاشت. عدد مثلثی بعدی که آن هم یک مربع کامل است، عبارت است از:                            362=49+48+...+3+2+1

من خودم هنوز این مورد را امتحان نکرده‌ام!

نتیجه نهایی

آخرین مطلب این است که من برای کاسینا متمتیکا³²، یک فن آموزش ریاضی ارائه دادم که توسط آن، تواناسازی دانشجویان برای رضایت‌مندی از ریاضی در اولویت قرار گرفت. کلاسی که در آن اواماری، کانی، ویکتوریا، هلی، دزیره و ساشا گوسفند را نجات دادند، با هم «اردک، اردک، غاز» نمایش دادند و با «ناگل‌ها» آجرچینی کردند، تجربه‌ای از این فن آموزشی بود. موفقیت‌های بیشتری هم وجود دارند که آن‌ها را در نوشته‌های آینده، شرح خواهم داد.

پی‌نوشت‌ها

1. Dance

2. Robert Thomas

3. Martin Gardner

4. Scientific American

5. John Horton Conway

6. Donald Knuth

7. Piet Hein

8. Raymond Smullyan

9. Nikoli

10. Luca Pacioli

11. De Veribus Quantitatis

12. Sid Sackson

13. Jerry Butters

14. U. S. Puzzle Championship

15. Howard Garns

16. Shikaku

17. Masyu

18. Nurikabe

19. Slitherlink

20. EvaMarie Olson

21. Dancer

22. Connie Adamson

23. Victoria Nompleggi

24. Haley Peterson

25. Desiree Viola

26. Duck, Duck, Goose

27. Sasha Rosenthal

28. Infinite Polygon

29. Noggles

30. Solomon Golomb

31. Pentominoes

32.Cucina Matematica

منبع

Jim Henle, Meaning to please, The Mathematical Intelligencer, Vol 40, Issue 1, March 2018, 68- 72.