تحلیل محتوای هندسه پایه هشتم بر اساس سطوح تفکر هندسی فن هیلی

مقدمه

نظریه فن‌هیلی معروف به «نظریه سطوح تفکر هندسی»، مربوط به چگونگی و مراحل درک مفاهیم هندسی دانش‌آموزان است. این نظریه، توانایی استدلال و تفکر هندسی را در پنج سطح، معرفی کرده است. در سطح مقدماتی (سطح نخست)، کلیت یک شکل هندسی مورد توجه قرار می‌گیرد و به تدریج، با کشف ویژگی‌های اشکال و بیان استدلال‌های غیررسمی درباره این ویژگی‌ها (سطح‌های دوم و سوم) ادامه می‌یابد. سپس به سمت هندسه اصل موضوعی (سطوح چهارم) حرکت کرده و در سطح پنجم، دقت استدلالی افزایش پیدا می‌کند (فایز و همکاران، 1988). این سطوح به ترتیب، عبارت از «تجسم یا شناسایی»، «تجزیه و تحلیل»، «استنتاج غیررسمی»، «استنتاج رسمی» و «دقت موشکافانه» هستند. پژوهش‌های جهانی انجام شده در راستای این نظریه، اهمیت آن را آشکار می‌سازد (پژوهش‌هایی مانند یوسسکین، 1982؛ برگر و شاونسی، 1986؛ گوتی‌یرز و جِیم، 1998؛ نایت، 2006، آرماه و همکاران، 2018؛ سنچس‌گارسیا و کابلو، 2016؛ نیساوا، 2018)

در این پژوهش، مباحث هندسی کتاب ریاضی پایه هشتم (چاپ 1397) با استفاده از نظریه مرحله‌ای تفکر هندسی فن‌هیلی، به روش تحلیل محتوای کیفی بررسی شد. در این تحقیق، «فعالیت‌ها»، «کاردرکلاس»‌ها و «تمرین»های مربوط به مبحث هندسه در کتاب درسی ریاضی پایه هشتم، از نظر سطح تفکر و استدلال هندسی مورد نیاز بر اساس نظریه فن‌هیلی، تعیین شد.

بیشتر پژوهش‌های انجام شده مربوط به ارزیابی سطوح فن‌هیلی، در دوره ابتدایی انجام شده است و نتایج، تأیید کننده این امر بوده‌اند که سطح کلی دانش‌آموزان این دوره، سطوح دوم یا حداکثر سوم فن‌هیلی بوده‌اند (کلمنتس³، 2003؛ گوتی‌یرز و جِیم، 1998؛ یوسسکین، 1982). در صورتی‌که ویژگی این پژوهش این است که در دوره متوسطه اول انجام شد و نتایج حاصل از تحلیل محتوا نشان داد که تقریباً، مباحث هندسی ارائه شده در کتاب پایه هشتم (چاپ 1397)، در سطوح اول تا سوم نظریه فن‌هیلی است و مفهومی در سطح‌های چهارم و پنجم، ارائه نشده است. بدین دلیل در کدگذاری محتوا، تنها به سه سطح اول پرداخته شد.

یافته‌ها

مبحث چندضلعی‌ها در کتاب ریاضی هشتم (چاپ سال 1397)، در فصل هندسه کتاب آمده و شامل درس‌های زیر است:

ـ چندضلعی‌ها و تقارن (صفحه‌های 30 تا 33)

ـ توازی و تعامد (صفحه‌های 34 تا 37)

ـ چهارضلعی‌ها (صفحه‌های 38 تا 41)

ـ زاویه‌های داخلی (صفحه‌های 42 تا 45)

ـ زاویه‌های خارجی (صفحه‌های 46 تا 49)

این فصل، با تعریف چندضلعی در صفحه 30، شروع می‌شود (تصویر 1)

این تعریف (فعالیت شماره 1) که برای درک آن از شکل کمک گرفته می‌شود، تا اندازه‌ای شهودی است. با این حال از آنجا که در این تعریف، برای معرفی چندضلعی‌ها از اجزای شکل استفاده شده است، برای درک آن، برخورداری از توانایی استدلال در سطح دوم فن‌هیلی ضروری است. انجام فعالیت‌های 2 و 3 در همین صفحه نیز، نیازمند توجه به اجزای شکل‌های هندسی و ویژگی‌های آن‌هاست. بدین جهت این فعالیت‌ها نیز در سطح دوم فن‌هیلی ارزیابی می‌گردند.

در این فصل پس از تعریف چندضلعی و انجام چند فعالیت مرتبط با آن (تصویر 1)، در همین صفحه از کتاب (صفحه 30) کاردرکلاس مقابل آورده شده است (تصویر 2):

در مورد این کاردرکلاس، بیان دو نکته دارای اهمیت است:

1. مشخص نیست در این تمرین از دانش‌آموزان انتظار می‌رود که به‌طور شهودی در مورد نوع چندضلعی و ویژگی‌های آن قضاوت کنند یا به نشانه‌گذاری‌های روی ضلع‌ها و زاویه‌ها توجه کنند. برای مثال، در حالی که شکل (ز) یک چندضلعی منتظم به چشم می‌آید، ولی اگر مبنای قضاوت را نشانه‌گذاری روی اضلاع و زاویه‌ها قرار دهیم، در حقیقت مسئله هیچ اطلاعاتی در مورد برابری اندازه ضلع‌ها یا زاویه‌های آن نداده است. البته با توجه به اینکه در مورد شکل‌های (ب)، (د)، (و) و (ح)، ضلع‌های هم‌نهشت و زاویه‌های قائمه مشخص شده‌اند، می‌توان چنین استنباط کرد که انتظار می‌رود قضاوت دانش‌آموز نیز بر اساس این داده‌ها صورت پذیرد. در آن صورت، اجازه نداریم بگوییم که شکل (ز) یک چندضلعی منتظم هست یا نیست. همین موضوع برای شکل (ج) هم وجود دارد که اگرچه یک متوازی‌الاضلاع به نظر می‌رسد ولی توضیحی درباره ویژگی اجزای آن داده نشده است. به بیان دیگر می‌توان گفت سطح پاسخگویی به این کاردرکلاس، می‌تواند یکی از سطوح اول یا دوم نظریه فن‌هیلی باشد.

2. تمرکز این فصل از کتاب بر معرفی چهارضلعی‌ها (به‌طور ویژه متوازی‌الاضلاع‌ها) است. در صفحه‌های بعد، ویژگی‌های چهارضلعی‌ها مورد بررسی قرار می‌گیرد. افزون بر این، روابط بین این ویژگی‌ها در یک چهارضلعی و نیز روابط بین چهارضلعی‌های مختلف، بررسی می‌شود. در این راستا، کتاب تلاش کرده به‌طور تجربی و گام‌به‌گام، دانش‌آموز را به سمت ارائه یا دست‌کم درک تعریف‌های ارائه شده برای انواع متوازی‌الاضلاع‌ها راهنمایی کند و پذیرش تداخل رده‌های چهارضلعی‌ها را به تدریج، آسان‌تر سازد. ولی تحلیل محتوای صفحه‌های این فصل از کتاب نشان داد که این هدف، تا پیش از پایان صفحه 39 به دست نمی‌آید (تصویر 9). بنابراین تمرین شماره 1 از کاردرکلاس صفحه 30 که از دانش‌آموز می‌خواهد از بین شکل‌های داده شده، شکلی را که یک «لوزی با زاویه قائمه» است، پیدا کند، شتاب‌زده است، زیرا بسیاری از دانش‌آموزان در شروع این فصل، لوزی بودن مربع را درک نمی‌کنند و حتی بعضی از آن‌ها، قائمه بودن زاویه‌ها را با لوزی بودن، مغایر می‌دانند. چنانچه تجربه‌های معلمان این پایه مؤید است که اگر از شکلی که یک «لوزی با زاویه قائمه» است نام ببرند، بیشتر دانش‌آموزان چهارضلعی (ح) را پیشنهاد می‌دهند.

نظیر چنین خواسته‌ای نیز در ادامه همین کاردرکلاس، در صفحه 31 کتاب دوباره عنوان گردیده است (تصویر 3، کاردرکلاس شماره 2، قسمت (ب)).

برای انجام این کاردرکلاس، معلم چند انتخاب پیش رو دارد:

1. با پاسخ برخی دانش‌آموزان مبنی بر آنکه چنین مستطیلی وجود ندارد، به‌طور موقت موافقت کند و اجازه دهد تا دانش‌آموزان پس از انجام فعالیت‌های کتاب، گام‌به‌گام به سوی تعریف دقیق مستطیل پیش بروند.

2. برای آنکه موجه بودن «مستطیلی با ضلع‌های مساوی» را ممکن سازد، پیش از پرداختن به فعالیت‌های پیش‌بینی شدهکتاب و با نقض سلسلسه مراتبِ در نظر گرفته شده برای محتوای آموزشی، تعریفی زود هنگام از مستطیل ارائه دهد.

3. مربعی را به‌عنوان پاسخ این قسمت رسم کند و توجیه ارتباط آن را با مستطیل، برای دانش‌آموزان بهت‌زده، به جلسه‌ها و صفحه‌های آینده موکول کند.

4. مستطیل بودن مربع را حقیقتی که دانش‌آموزان می‌بایست از آن آگاه باشند تصور نموده و به حل کاردرکلاس ادامه دهد.

اگر سه حالت اخیر رخ دهد، با توجه به روند سلسله‌مراتبی محتوای کتاب، پرسش آن است که ضرورت فعالیت‌های تجربی صفحه‌های آینده که قرار است به کشف ویژگی‌های چهارضلعی‌ها بیانجامد چیست، و چرا بیان تعریف‌های مستطیل، لوزی و مربع تا صفحه 39 (تصویر 7)، به تأخیر افتاده است؟

تصویر 4، تصویری از صفحه 38 کتاب درسی ریاضی هشتم را نشان می‌دهد.

در این صفحه و با یک فعالیت، ابتدا تعریفی از متوازی‌الاضلاع داده می‌شود. این یک تعریف ریاضی از متوازی‌الاضلاع است و نسبت به درک شهودی که پیش از این، دانش‌آموزان در تشخیص متوازی‌الاضلاع از آن استفاده کرده بودند، در سطح بالاتری قرار دارد. یک تعریف ریاضی، به شرطی برای دانش‌آموز معنادار است که او به توانایی درک چنین تعریفی دست یافته باشد. در حالی که پژوهش‌های متعدد انجام شده درباره مشخصه‌های سطوح فن‌هیلی، همگی نشان می‌دهند که درک تعریف‌های ریاضی، نیازمند برخورداری از تفکر هندسی در سطح سوم فن‌هیلی است (کلمنتس، 2003؛ برگر و شاونسی، 1986؛ میسون، 1995؛ کراولی، 1987). در حالی که در ابتدای این فعالیت، پیش فرضِ کتاب این است که دانش‌آموزان از عهده درک تعریف‌های ریاضی، برمی‌آیند. به بیانی دیگر، از دانش‌آموز انتظار رفته است که یک دستیابی نسبی به سطح سوم را کسب کرده یا دستِ‌کم، سطح دوم تفکر را گذرانده و آماده ورود به سطح سوم تفکر باشد.

در ادامه، این صفحه به تشریح یک فعالیت تجربی می‌پردازد (فعالیت شماره 1، تصویر 4). در ضمن، این فعالیت که باید توسط دانش‌آموز انجام شود، او را به سمتی هدایت می‌کند که با انجام دست‌ورزی‌هایی که کتاب از او خواسته، برخی از ویژگی‌های یک متوازی‌الاضلاع را کشف کند. این ویژگی‌ها عبارتند از هم‌نهشتی زاویه‌های روبه‌رو، هم‌نهشتی اضلاع روبه‌رو و منصّف بودن قطرهای یک متوازی‌الاضلاع. این همان چیزی است که از یک دانش‌آموز با تفکری در سطح دوم فن‌هیلی مورد انتظار است؛ یعنی او باید بتواند به کمک مشاهده و تجربه، ویژگی‌های اشکال را دریابد (کراولی، 1987).

در واقع تحلیل محتوای این بخش نشان داد که انجام و درک عمیق فعالیت‌های این صفحه، نیازمند برخورداری از پیش‌نیازی، دستِ‌کم در حد دستیابی به سطح دوم فن‌هیلی است و در ضمنِ انجام چنین فعالیتی، قرار است این تسلط به درجه بالاتری هم برسد.

در تصویرهای شماره 5 و 6 به‌طور جداگانه، دو تمرین مربوط به کاردرکلاس صفحه 39 از کتاب درسی نشان داده شده است که به درک عمیق‌تر این یافته، کمک می‌کند.

تصویر 5، مربوط به یک تمرین ترکیبی است که بلافاصله پس از فعالیت صفحه 38 که در تصویر 4 دیده شد، آمده است. برای پاسخگویی به این تمرین، لازم است دانش‌آموز به ویژگی‌های متوازی‌الاضلاع که در صفحه 38 کتاب و در ضمن انجام فعالیتی تجربی دست یافته (سطح دوم فن‌هیلی)، مسلط باشد و بتواند این ویژگی‌ها را به‌صورت تساوی‌هایی که منجر به تشکیل و حل معادله‌های درجه اول یک مجهولی می‌گردد، بیان نماید.

در تصویر 6، تمرین دومِ کاردرکلاس صفحه 39 از کتاب درسی دیده می‌شود. در این تمرین، پاسخگویی به پرسشِ «چرا زاویه‌های دیگر آن حتماً قائمه‌اند؟ توضیح دهید»، نیازمند درک روابط بین ویژگی‌های متوازی‌الاضلاع و نیز برخورداری از توانایی انجام استدلال‌های استنتاجی غیررسمی است و با استناد به مشخصه‌های ارائه شده برای سطوح فن‌هیلی، در سطح دوم شمرده نمی‌شود و پس از دستیابی به سطح سوم فن‌هیلی به دست می‌آید (کلمنتس، 2003؛ مالوی⁴، 2002؛ میسون، 1995؛ کراولی، 1987؛ یوسسکین، 1982). افزون بر این، توجه به این نکته ضروری است که در سطر اول این تمرین، از دانش‌آموز خواسته شده است که «متوازی‌الاضلاعی» با ویژگی داده شده رسم کند. با فرض آنکه دانش‌آموز موفق به رسم این شکل شود، چنین متوازی‌الاضلاعی، الزاماً یک مستطیل خواهد بود. تجربه‌های معلمان هم حاکی از این است که بسیاری از دانش‌آموزان، در نهایت شکلی شبیه به یک ذوزنقه قائم‌الزاویه رسم می‌کنند و قادر به پیاده‌سازی ویژگی‌های بیان شده در تعریف متوازی‌الاضلاع، در ضمن رسم چهارضلعی خواسته شده در این تمرین نیستند. برخی، حتی در صورت درک ویژگی‌های گفته شده در تعریف، در عمل تلاش می‌کنند از تبدیل شدن شکل به یک مستطیل جلوگیری کنند، چون هنوز قادر به پذیرش مستطیل به‌عنوان یک متوازی‌الاضلاع نیستند.

 

 

اینکه دانش‌آموز درک کند مستطیلی (یا تصادفاً مربعی) که در نهایت رسم خواهد شد، همان «متوازی‌الاضلاعی است» که مسئله خواسته است، نیازمند درک این مطلب است که یک مستطیل (یا مربع) هم یک متوازی‌الاضلاع است. این به معنای توانایی درک و پذیرش تداخل رده‌های هم‌ارزی و درک روابط بین اشکال است و این توانایی، پیش از دستیابی به سطح سوم تفکر فن‌هیلی به دست نخواهد آمد (میسون، 2009؛ کلمنتس، 2003؛ میسون، 1995؛ کراولی، 1987؛ فن‌هیلی، 1959.)

تصویر 7، بخشی دیگر از همان صفحه 39 را که شامل سه فعالیت است، نشان می‌دهد.

انجام فعالیت شماره 1 از صفحه 39 (تصویر 7)، نیازمند درک تعریف متوازی‌الاضلاع (سطح سوم فن‌هیلی) است. گوتییرز و جِیم (1998)، خصیصه‌هایی برای سطوح مختلف فن‌هیلی معرفی کرده‌اند که یکی از آن‌ها «تعریف» است که می‌تواند از دو منظرِ «کاربرد» و «صورت‌بندی» بررسی شود. فعالیت شماره 1، فرایند کاربرد یک تعریفِ داده شده را ارزیابی می‌کند؛ به این صورت که از دانش‌آموزان که در صفحه 38 کتاب با تعریف متوازی‌الاضلاع روبه‌رو شده‌اند، انتظار می‌رود با به‌کارگیری تعریفِ ارائه شده، از بین دسته‌ای از چندضلعی‌های داده شده، متوازی‌الاضلاع‌ها را شناسایی کنند.

فعالیت شماره 2 از صفحه 39 نیز، فعالیتی است که در آن از دانش‌آموز انتظار می‌رود تعریف‌های ارائه شده را درک کند. درک تعریف‌ها چنانکه گفته شد، در سطح سوم فن‌هیلی به دست می‌آید. از این گذشته در این فعالیت، تعریف‌های داده شده به گونه‌ای ارائه شده‌اند که نیازمند درک و پذیرش تداخل رده‌های چهارضلعی‌هاست. در این بخش، سه تعریف داده شده مستطیل و لوزی و مربع، هر یک به‌عنوان «نوعی متوازی‌الاضلاع» معرفی شده‌اند. در نظریه فن‌هیلی، درک و پذیرش تداخل رده‌های اشکال هندسی، از مشخصه‌های ورود به سطح سوم است.

فعالیت شماره 3 از همین صفحه کتاب نیز که در قسمت پایین تصویر 7 دیده می‌شود، نیازمند بیان یک استدلال استنتاجی تک‌گام است. این شروع یک اثبات غیررسمی در هندسه است و توانایی‌ای است که باز هم در فهرست مشخصه‌های سطح سوم فن‌هیلی قرار می‌گیرد (کلمنتس، 2003؛ پیوزی، 2003؛ مالوی، 2002؛ کراولی، 1987؛ یوسسکین، 1982؛ فن‌هیلی، 1959).

در جمع‌بندی تحلیل این سه فعالیت، می‌توان چنین اظهار داشت که سطح مورد انتظار برای انجام و درک آن‌ها، سطح سوم فن‌هیلی است.

تصویر 8، نخستین تمرینِ کاردرکلاس صفحه 40 از کتاب را نمایش می‌دهد که در ادامه، مورد بررسی قرار می‌گیرد.

فعالیتی که در تصویر 8 نمایش داده شده است، با وجود ظاهر ساده آن، باز هم نیازمند درک عمیق تداخل رده‌های چهارضلعی‌هاست (سطح سوم فن‌هیلی). بعضی از پژوهشگران و معلمان به‌طور تجربی و در عمل، از واژه «ساده» برای توصیف چنین فعالیت‌هایی استفاده می‌کنند.

البته ممکن است در کلاس درس، به‌طور عملی دیده شود که دانش‌آموزان پس از انجام فعالیت‌های مربوط به دو صفحه 38 و 39 (که پیش از این مورد بررسی قرار گرفتند)، این جدول را با موفقیت پُر ‌کنند و می‌توان با مشاهده این عملکردها، نتیجه گرفت که دانش‌آموزان تداخل رده‌های چهارضلعی‌ها را درک کرده‌اند. در صورتی که یافته‌های پژوهش صفابخش (1394)، بیانگر آن است که چنین تحلیلی ممکن است زیاده از حد خوش‌بینانه باشد.

در کاردرکلاس شماره 2 (تصویر 9)، مجدداً از دانش‌آموز انتظار می‌رود با انجام دست‌ورزی‌هایی روی یک کاغذ مستطیل شکل، برخی ویژگی‌های مستطیل را جست‌وجو نماید.

در پایان این فعالیت، دانش‌آموز می‌بایست بر اساس مشاهده‌های تجربی حاصل از این دست‌ورزی، ویژگی‌هایی را که دریافته بیان و توجیه نماید. توانایی نتیجه‌گیری ویژگی‌های اشکال از راه مشاهده و آزمایش، از مشخصه‌های سطح دوم فن‌هیلی است و برای بیان دلیل این یافته‌ها، برخورداری از توانایی استدلال غیررسمی، مورد نیاز است.

فعالیت شماره 3 در ادامه همین کاردرکلاس در صفحه 41 آمده است (تصویر 10).

در این فعالیت، استدلال مبین، یک استدلال استنتاجی غیررسمی است که با مشاهده‌های تجربی آمیخته است. بنابراین برای درک آن، برخورداری از توانایی استدلال در سطح سوم فن‌هیلی مورد نیاز است. همین موضوع در مورد استدلال‌ها نیز برقرار است. پس از بیان این دو استدلال، از دانش‌آموز خواسته شده است که «به کمک این دو نوشته»، نتیجه بگیرد که چهارضلعی MNPQ مربع است. پاسخ مورد انتظار چنین است:

چهارضلعی MNPQ هم یک لوزی و هم یک مستطیل است؛ پس این چهارضلعی یک مربع است.

این پاسخ، یک استدلال استنتاجی تک‌گام است که پایین‌ترین سطح برای دستیابی به توانایی ارائه آن، باز هم سطح سوم فن‌هیلی است.

تصویری از سه تمرین صفحه 41 که در ادامه کاردرکلاس آمده، در تصویر 11 به نمایش در آمده است.

تمرین شماره 1، یک مسئله استنتاجی است که برای پاسخ به آن، توانایی سطح سوم فن‌هیلی مورد نیاز است. همچنین تمرین شماره 2 که با برش، تا زدن و مشاهده همراه است و با توانایی سطح دوم فن‌هیلی، قابل پاسخ دادن است. برای پاسخگویی به تمرین شماره 3 نیز می‌توان از برش و تازدن کمک گرفت و بر اساس مشاهده‌های صورت گرفته، استدلال کرد که در این صورت، به این تمرین در سطح دوم پاسخ داده شده است. با این حال ممکن است به این تمرین در سطح سوم فن‌هیلی نیز پاسخ داده شود.

در فعالیت صفحه 43 (تصویر12)، ابتدا تعریفی از زاویه داخلی یک چندضلعی داده شده است. سپس دانش‌آموز، طی یک روند استقرایی به سوی دست یافتن به الگویی برای محاسبه مجموع زاویه‌های داخلی یک چندضلعی دلخواه هدایت می‌شود. سپس رابطه‌ای برای محاسبه اندازه هر یک از زاویه‌های یک چندضلعی منتظمِ دلخواه به دست می‌آید. در این نتیجه‌گیری‌ها هم توانایی استنتاج غیررسمی، دخیل است.

فعالیت صفحه 48 (تصویر 13) نیز فعالیتی است که در آن، باز هم به کمک استنتاج‌های ساده و غیررسمی و در یک روند استقرایی، مجموع زاویه‌های خارجی یک چندضلعی دلخواه تعیین می‌شود. بنابراین می‌توان این فعالیت را در سطح سوم فن‌هیلی دسته‌بندی کرد.

جمع‌بندی

سطوح فن‌هیلی ارزیابی شده برای فعالیت‌ها، کاردرکلاس‌ها و تمرین‌های فصل سوم کتاب هشتم که تا اینجا در این پژوهش مورد بررسی قرار گرفتند، در جدول (1) جمع‌بندی شده‌اند. چنانکه در این جدول، دیده می‌شود، سطوح غالب فعالیت‌ها، کاردرکلاس‌ها و تمرین‌های بررسی شده فصل سوم کتاب ریاضی پایه هشتم، سطوح دوم یا سوم فن‌هیلی است.

با جمع‌بندی مطالب بیان شده درباره محتوای کتاب درسی در مبحث چندضلعی‌ها، می‌توان نتیجه گرفت که مطالب کتاب ریاضی پایه هشتم به گونه‌ای طراحی و تدوین گشته‌اند که از دانش‌آموز انتظار می‌رود دستِ‌کم، از تفکر هندسی در سطح دوم برخوردار بوده و آماده ورود به سطح سوم تفکر است. این در حالی است که یافته‌های این پژوهش، نشان می‌دهند که شمار زیادی از دانش‌آموزان دوره متوسطه اول از نظر درک هندسی، در سطح اول فن‌هیلی قرار دارند. همچنین تعداد کمی از دانش‌آموزان این پایه‌ها، در سطح دوم نظریه فن‌هیلی قرار دارند و شمار دانش‌آموزانی که در این پایه به سطح سوم فن‌هیلی رسیده‌اند، اندک است.

نتیجه‌گیری

نتایج به دست آمده از تحلیل محتوای فعالیت‌ها و تمرین‌های کتاب ریاضی پایه هشتم، نشانگر این است که این مباحث، دربردارنده تعریف‌های ریاضی از شکل‌های هندسی، مفهوم تداخل رده‌های شکل‌های هندسی، استدلال‌های تک‌گام و اثبات‌های استنتاجی انجام شده است که درک همه این موارد، نیازمند برخورداری از توانایی استدلال در سطح سوم فن‌هیلی است. حتی اگر قرار باشد که دانش‌آموز در مسیر یادگیری این فصل، به سطح سوم فن‌هیلی دست یابد، باز هم برخورداری از توانایی استدلال در سطح دوم، به‌عنوان سطح ورودی، پیش‌فرضی است که با سطح واقعی درک و استدلال این دانش‌آموزان براساس پژوهش‌های مرتبط (برای مثال، صفابخش، 1394؛ گوتی‌یرز و جِیم، 1998؛ یوسسکین، 1982؛ فایز و همکاران، 1988؛ الکس و مَمِن ، 2014) هم‌خوانی ندارد. بر اساس نتایج پژوهش صفابخش (1394) سطح غالب دانش‌آموزان پایه هشتم در ایران، سطح اول فن‌هیلی است و میانگین درجه دستیابی دانش‌آموزان به سطح دوم فن‌هیلی که معرف میزان تسلط آن‌ها به این سطح است، پایین‌تر از حد متوسط است. این امر با توجه به مشخصه‌های تعریف شده برای سطح دوم و انتظاراتی که در سطح دوم نسبت به توانایی استدلال فرد وجود دارد، بدین صورت تعبیر می‌شود که بیشتر دانش‌آموزان، درک عمیقی از اجزا و ویژگی‌های اشکال هندسی ندارند و از دیدگاه فرایند اثبات، بیشتر آن‌ها نمی‌توانند به کمک استقرای تجربی، ویژگی‌ها را به‌درستی استنتاج کنند. این در حالی است که بررسی فعالیت‌ها و تمرین‌های کتاب مربوط به مبحث چهارضلعی‌ها، زاویه‌های داخلی و زاویه‌های خارجی که در کتاب پایه هشتم ارائه شده‌اند، بیانگر این واقعیت است که درک میزان قابل توجهی از مفاهیم و مباحث مطرح شده در آن‌ها، نیازمند برخورداری از تفکری در سطح دوم یا سوم فن‌هیلی است. لازم به ذکر است که یوسسکین (1982) اشاره می‌کند که فرایند گذار از یک سطح به سطح بعدی، نیازمند زمانی طولانی‌تر از یک ساعت یا چند جلسه آموزشی است.

پی‌نوشت‌ها

1. امیری، حمیدرضا؛ پندی، زهره؛ خسروآبادی، حسین؛ داودی، خسرو؛ ریحانی، ابراهیم؛ سیدصالحی، محمدرضا و صدر، میرشهرام. (1397). ریاضی پایه هشتم دوره اول متوسطه. شرکت چاپ و نشر کتاب‌های درسی ایران.

2. Van Hiele

3. Clements

4. Malloy

منابع

1. صفابخش چکوسری، اشرف. (1394). بررسی سطح درک و استدلال هندسی دانش‌آموزان پایه هشتم بر اساس مدل فن‌هیلی. پایان‌نامه کارشناسی ارشد آموزش ریاضی، دانشگاه تربیت دبیر شهید رجایی، تهران

2. Alex, J. K., & Mammen, K. J. (2014). An assessment of the readiness of grade 10 learners for geometry in the context of curriculum and assessment policy statement (CAPS) expectation.

3. Armah, R. B., Cofie, P. O., & Okpoti, C. A. (2018). Investigating the Effect of van Hiele Phase-Based Instruction on Pre-Service Teachers’ Geometric Thinking. International Journal of Research in Education and Science, 4(1), 314- 330.

4. Burger, W. F., & Shaughnessy, J. M. (1986).Characterizing the van Hile levels of development in geometry. Journal for research in mathematics education, 31- 48.

5. Clements, D. H. (2003).Teaching and learning geometry. A research companion to principles and standards for school mathematics, 151- 178.

6. Crowley, M. L. (1987). The van Hiele model of the development of geometric thought. Learning and teaching geometry, K-12, 1- 16.

7. Fuys, D., Geddes, D., & Tischler, R. (1988). The van Hiele model of thinking in geometry among adolescents. Journal for Research in Mathematics Education. Monograph, i-196.

8. Gutiérrez, A., & Jaime, A. (1998). On the assessment of the van Hiele levels of reasoning. Focus on Learning in Mathematics , 20, 27- 46.

9. Malloy, C. (2002). The van Hiele framework. Navigating through geometry in grades 6, 8.

10. Mason, M. M. (1995). Geometric understanding in gifted students prior to a formal course in geometry.

11. Mason, M. (2009). The van Hiele levels of geometric understanding. Colección Digital Eudoxus, 1(2).

12. Nisawa, Y. (2018). Applying van Hiele’s Levels to Basic Research on the Difficulty Factors behind Understanding Functions. IEJME-Mathematics Education. 13(2), 61- 65.

13. Knight, K. C. (2006). An investigation into the change in the Van Hiele levels of understanding geometry of pre-service elementary and secondary mathematics teachers (Doctoral dissertation, The University of Maine).

14. Sánchez-García, A. B., & Cabello, A. B. (2016). An instrument for measuring performance in geometry based on the van Hiele model. Educational Research and Reviews, 11(13), 1194.

15. Pusey, E. L. (2003). The van Hiele model reasoning in geometry: a literature review.

16. Usiskin, Z. (1982). Van Hiele levels and achievement in secondary school geometry. CDASSG Project.

17. Van Hiele, P. M. (1959). The child’s thought and geometry. English translation of selected writings of Dina van Hiele-Geldof and Pierre M. van Hiele, 243- 252.