افزایش دانش موضوعی ریاضی براى معلمان: اعدادِ تقریبی و تخمین، بخش اول

در کتاب‌های درسی ریاضی دور‌ه‌ی ابتدایی موضوع‌هایی هستند که یا دانش‌آموزان در یادگیری آن‌ها مشکل دارند یا معلمان در یاددهی آن‌ها. در این دوره از مجله‌ی رشد آموزش ابتدایی، در هر شماره، درباره‌ی یکی از آن‌ها صحبت می‌کنیم. قصد نداریم در اینجا روش تدریس بیان کنیم، بلکه آن را به‌عنوان یک موضوع یا مفهوم ریاضی بررسی خواهیم کرد تا دانش موضوعی خود را برای تدریس بهتر آن افزایش دهیم.

در زندگی روزمره ناچاریم محاسباتی انجام دهیم. برای مثال:

• قیمت کالای پس از تخفیف چقدر است؟

• پس از چند خرید، آیا موجودی کارتمان برای خرید بعدی کافی است؟

• با توجه به کیفیت و وزن و قیمت هر ماده‌ی غذایی، خرید آن از کدام فروشگاه به صرفه‌تر است؟

بیشتر این محاسبات با دخل‌وخرج ما و قیمت‌ها مرتبط هستند و معمولاً آن‌ها را با راهبردهای محاسبات ذهنی انجام می‌دهیم. در بسیاری موارد، اصلاً به محاسبه‌ی دقیق و یافتن مقدار دقیق مورد نظر نیاز نداریم و همین که تقریب خوبی از پاسخ داشته باشیم، برای ما کافی است. بنابراین، محاسبات را تخمینی انجام می‌دهیم. علاوه بر تخمین در محاسبات، گاهی باید اندازه‌های چیزهایی را تخمین بزنیم. برای مثال:

• زمان لازم برای انجام یک کار؛

• وزن یک بسته؛

• طول یک شیء؛

• فاصله‌ی دو نقطه.

در این موارد نیز اندازه‌ها را به‌صورت تخمینی به دست می‌آوریم و برای اینکه بتوانیم تخمین‌های مناسبی بزنیم، هم باید درک درستی از واحد اندازه‌گیری موردنظر داشته باشیم و هم باید بزرگی اعداد را درک کنیم.  توانایی «تخمین» یکی از توانایی‌های فرایندی در ریاضیات است که نه‌تنها در اصول و استانداردهای آموزشی بسـیاری از کشـورها، که در برنامه‌ی درسی ملی ایران نیز بر آن تأکید شده است. در برنامه‌ی درسی ملی ایران، در بخش مربوط به قلمرو حوزه‌ی ریاضیات، از تخمین زدن و دقت یافتن به‌عنوان دو فرایند از فرایندهای ریاضی نام برده شده است که دانش‌آموزان باید با آن‌ها آشنا شوند و در آن‌ها مهارت یابند.

 

در این مطلب

• با مفهوم تقریب زدن آشنا می‌شویم.

• انواع روش‌های تقریب را مرور می‌کنیم.

و در شماره‌ بعد

• با تخمین در انجام چهار عمل اصلی اعداد صحیح و اعشاری آشنا می‌شویم.

• روند آشنایی دانش‌آموزان را با تخمین در شش کتاب ریاضی دوره‌ی ابتدایی مرور می‌کنیم.

در لابه‌لای این مطالب بعضی موضوعات مرتبط با آموزش تخمین و تقریب را نیز می‌خوانید.  

 

تقریب زدن اعداد و خطای تقریب

«جمعیت ایران هشتاد میلیون نفر است»؛ «تولید سالانه‌ی سیب یک باغ 3400 کیلوگرم است»؛ «فاصله‌ی تهران تا اصفهان 600 کیلومتر است».

این جمله‌ها و مشابه آن‌ها را هر روز یا می‌شنویم یا می‌گوییم. اما معنی عددهایی که در این جمله‌ها بیان می‌شوند چیست؟ آیا دقیقاً هشتاد میلیون نفر در ایران زندگی می‌کنند؟ یا درست 3400 کیلو سیب از آن باغ به‌دست‌آمده است؟ یا از تهران تا اصفهان درست 600 کیلومتر راه است؟ قطعاً پاسخ همه‌ی این سؤالات «خیر» است. این عددها مقدارهای تقریبی جمعیت، تولید سیب و فاصله هستند، نه مقدار دقیق آن‌ها. حال این سؤال مطرح می‌شود که مقدار دقیق با مقدار تقریبی چقدر اختلاف دارد؟ یعنی میزان خطا در این تقریب‌ها چقدر است؟ برای اینکه بتوانیم به این سؤال پاسخ دهیم، باید بدانیم این اعداد تقریبی از روی اعداد اصلی چگونـه به‌دست ‌آمــده‌اند و دقت تقریب چقدر بوده است؟

 

روش ‌های تقریب زدن

دو روش برای تقریب زدن عددها وجود دارد: قطع کردن؛ گرد کردن.

1. قطع کردن عدد

در تقریب به روش قطع کردن، از بعضی رقم‌های عدد اصلی صرف‌نظر می‌کنیم. انگار داریم عدد را می‌بُریم. مثلاً محصول امسال باغ سیبی 1489 کیلوگرم است. ممکن است برای حمل سیب‌‌ها با کامیون، دانستن مقدار دقیق آن‌ها در حد زیر صد کیلوگرم نیاز نباشد. در این صورت می‌گوییم محصول باغ تقریباً 1400 کیلوگرم است. درواقع، از مقدار رقم‌های مرتبه‌های یکان و دهگان که از صد کوچک‌تر هستند، صرف‌نظر می‌کنیم. به این ترتیب، اختلاف مقدار واقعی از مقدار تقریبی 89=1400-1457 است و 89 از 100 (دقت تقریب) کوچک‌تر است. بد نیست روی محور اعداد حقیقی نیز به این عددها نگاهی بیندازیم:

 

 

این موضوع در حالت کلی نیز برقرار است: یعنی اگر بخواهیم عددی را با تقریب کمتر از 10n (یعنی 1 که n تا صفر جلویش است) تقریب بزنیم، باید از مقدار رقم‌هایی که ارزش مکانی آن‌ها از 10n کوچک‌تر است، صرف‌نظر کنیم. درواقع آن رقم‌ها را برمی‌داریم و به جایشان صفر می‌گذاریم. مثال‌های زیر را ببینید:

 

مثال 1. هر عدد با تقریب خواسته شده قطع شده است:

538 با تقریب کمتر از 1 برابر است با خود 538

26 با تقریب کمتر از 10 برابر است با 20

74563 با تقریب کمتر از 100 برابر است با 74500

98 با تقریب کمتر از 100 برابر است با 0

74563 با تقریب کمتر از 10000 برابر است با 70000

در مورد اعداد اعشاری نیز دقیقاً همین‌طور است:

1674/45 با تقریب کمتر از یک‌هزارم برابر است با 167/45

            با تقریب کمتر از یک‌صدم برابر است با 16/45

            با تقریب کمتر از یک‌دهم برابر است با 1/45

            با تقریب کمتر از 1 برابر است با 45

            با تقریب کمتر از 10 برابر است با 40

            با تقریب کمتر از 100 برابر است با 0.

 

با انواع تخمین آشنا شوید

تخمین در اندازه؛ یعنی بدون اندازه‌گیری دقیق، اندازه‌ی مورد نظر را به صورت تقریبی بیان کنیم. مانند طول یک اتاق، یا وزن یک بسته یا زمان رسیدن به یک محل.

تخمین در تعداد؛ یعنی بدون شمارش دقیق، تعداد اعضای یک مجموعه را بیان کنیم. مانند تخمین تعداد دانش‌آموزان یک کلاس یا تعداد میوه‌های داخل یک ظرف.

تخمین در محاسبات؛ یعنی بدون انجام محاسبات دقیق، حاصل یک عبارت را به دست آوریم.

برای آشنایی بیشتر با تخمین، مطلب شماره‌ی بعد مجله را نیز مطالعه کنید.

 

توجه کنید که در قطع کردن اعداد:

• عدد تقریبی همیشه از عدد اصلی کوچک‌تر است. به همین دلیل، گاهی اصطلاحاً می‌گوییم اعداد را با «تقریب نُقصانی» تقریب زده‌ایم.

• اختلاف عدد اصلی با عدد تقریبی از دقت تقریب کوچک‌تر است.

• دقت تقریب، توانی از 10 است و با ارزش‌های مکانی اعداد متناظر است.

• باید ارزش مکانی را به خوبی بشناسیم.

 

روش‌های تقریب زدن

2. گرد کردن عدد

 بار دیگر به داستان باغ سیب برگردیم. محصول یک سال این باغ 1489 کیلوگرم بود، ولی ما برای راحتی کار و اینکه در عمل نیازی به دانستن مقدار دقیق وزن سیب‌ها تا زیر صد کیلوگرم نداشتیم، از 89 کیلوگرم صرف‌نظر کردیم و محصول باغ را 1400 کیلوگرم اعلام کردیم. اما ته ذهنمان این موضوع هست که گرچه 89 کیلوگرم از 100 کیلوگرم کمتر است و احتمالاً در کار ما تأثیری نخواهد داشت، ولی این مقدار خیلی به 100 نزدیک است. در واقع، از روی محور اعداد معلوم است که 1489 به 1500 نزدیک‌تر است تا به 1400. شکل زیر را ببینید:

 

 

در بسیاری از مسئله‌های عملی و واقعی، از روش دیگری برای تقریب زدن استفاده می‌شود که خطای آن در مواردی کمتر از خطای روش قطع کردن است. این روش به گرد کردن معروف است و ما گاهی حتی در صحبت‌های عادی‌مان نیز به درست یا غلط، از اصطلاح «فلان عدد را گِردش کن» استفاده می‌کنیم. اکنون ببینیم در روش گرد کردن چگونه عدد تقریبی از عدد اصلی به دست می‌آید؟

 

 

 

اکنون مثال‌های زیر را ببینید:

مثال 2. هر عدد با تقریب خواسته‌شده گرد شده است:

538 با تقریب کمتر از 1 برابر است با خود  538

26 با تقریب کمتر از 10 برابر است با 30

74563 با تقریب کمتر از 100 برابر است با 74600

98 با تقریب کمتر از 100 برابر است با 100

74563 با تقریب کمتر از 10000 برابر است با 70000

در مورد اعداد اعشاری نیز دقیقاً همین‌طور است:

1674/45 با تقریب کمتر از یک‌هزارم، برابر است با 167/45

            با تقریب کمتر از یک‌صدم، برابر است با 17/45

            با تقریب کمتر از یک‌دهم برابر است با 2/45

            با تقریب کمتر از 1 برابر است با 45

            با تقریب کمتر از 10 برابر است با 50

            با تقریب کمتر از 100 برابر است با 0.

 

توجه کنید که در گرد کردن اعداد:

• عدد تقریبی گاهی از عدد اصلی کوچک‌تر است و گاهی بزرگ‌تر.

• دقت تقریب، توانی از 10 است و با ارزش‌های مکانی اعداد متناظر است.

• اختلاف عدد اصلی با عدد تقریبی از دقت تقریب کوچک‌تر است.

• خطای تقریب کمتر یا برابر با خطای تقریب در روش قطع کردن است.

• باید ارزش مکانی را به خوبی بشناسیم و بتوانیم روی محور اعداد حقیقی جایگاه اعداد را نسبت به یکدیگر تعیین کنیم.

 

 

به سؤال‌های زیر فکر کنید:

1. عدد 18981 را با تقریب کمتر از صد، یک‌بار قطع کنید.یک‌بار گرد کنید. دو عدد تقریبی به‌دست‌آمده را با هم مقایسه کنید. چه توضیحی دارید؟

2. عدد 981/198 را با تقریب کمتر از یک‌صدم، یک‌بار قطع کنید و یک‌بار گرد کنید. دو عدد تقریبی به‌دست‌آمده را با هم مقایسه کنید. چه توضیحی دارید؟

3. عددی را با تقریب کمتر از 100، یک‌بار قطع کردیم. یک‌بار گرد کردیم. بیشترین اختلاف این دو عدد تقریبی چه می‌تواند باشد؟ چرا؟

4. عددی را با تقریب کمتر از 100 قطع کردیم، عدد 1700 به دست آمد. آن عدد چیست؟ چرا؟

5. عددی را با تقریب کمتر از 100 گرد کردیم، عدد 1700 به دست آمد. آن عدد چیست؟ چرا؟

 

ادامه‌ این مطلب را که در آن با تخمین در محاسبات آشنا می‌شوید، در شماره‌ بعد مجله بخوانید.

 

 

پاسخ سؤال‌ها

1. در گرد کردن، چون رقم دهگان 8  و از 5 بزرگ‌تر است، پس از قطع کردن 81، یک واحد به رقم صدگان یعنی 9 اضافه می‌شود. منتها نمی‌توانیم در این مرتبه 10 بنویسیم. بنابراین، یک واحد به مرتبه‌ی بعد، یعنی یکان هزار، اضافه می‌شود و به 9 تبدیل می‌شود و حاصل، 19000 است. قطع شده‌ی آن 18900 است.

2. در گرد کردن، چون رقم یک‌هزارم، 1 است و از 5 کمتر است، پس بعد از قطع کردن 1، رقم صدم تغییری نمی‌کند و 98/198 به دست می‌آید. قطع شده‌ی عدد نیز همین 98/198 خواهد بود.

3. بیشترین اختلاف این دو تقریب 100 واحد است. چون اگر گرد شده‌ی آن به عدد بالایی باشد، قطع شده‌اش هم که عدد پایینی است و در تقریب با دقت 100، این دو عدد 100 واحد فاصله دارند. روی محور اعداد برای خود ترسیم کنید و ببینید. شکل 2 نیز در درک این موضوع به شما کمک می‌کند.

4. از 1700 تا 1799. دلیل را شما بگویید.

5. از 1650 تا 1750. دلیل را شما بگویید.