وقتی شروع به شمارش می‌کنیم، صفر، یک، دو، سه، چهار و به عدد
نُه می‌رسیم، عدد بعدی ده است. برای
نوشتن عدد ده، از رقم‌هایی استفاده می‌شود که پیش از آن نیز به کار رفته‌اند: 0 و 1. در واقع، برای نوشتن همه‌ی عددها، از ده رقمِ 0، 1، 2 ،3، 4، 5،
6، 7، 8، 9 استفاده می‌کنیم و آن‌ها را کنار یکدیگر قرار می‌دهیم. در این عددنویسی، هر مکان ارزشی دارد که بزرگی رقم نوشته شده در آن مکان
را تعیین می‌کند. درواقع، پایه و اساس
عددنویسی و عددخوانی، ارزش مکانی ارقام است و از آنجا که ما از ده نماد برای این
کار استفاده می‌کنیم، مبنای شمارش و
عددنویسی ما«ده» است. علاوه بر عددنویسی و عددخوانی، ارزش مکانی ارقام در مقایسه‌ی اعداد و همچنین در به وجود آمدن روش‌هایی برای انجام چهارعمل اصلی، نقش
بسیاری دارد و تمام رویه‌هایی که برای انجام اعمال
روی عددهای صحیح و اعشاری انجام می‌شوند، براساس همین ارزش
مکانی تعریف شده‌اند. تقریب زدن و انجام
محاسبات تقریبی نیز نیازمند ارزش مکانی است.
در مطلب پیش رو، نخست ارزش مکانی و
ویژگی‌های آن را مرور می‌کنیم. سپس رویه‌های انجام جمع، تفریق، ضرب و تقسیم
اعداد را با استفاده از آن تا حدودی تحلیل و بررسی خواهیم کرد. در شماره‌های بعدی مجله به موضوع تقریب خواهیم
پرداخت.
بررسی رابطه‌ی طولی یک مفهوم یا موضوع و آشنایی با
آن در برنامه‌ی درسی و کتاب‌های درسی شش پایه‌ی ابتدایی، در رفع مشکلات یادگیری دانش‌آموزان به معلمان کمک می‌کند.
زمانی که دانش‌آموز یک پایه در یادگیری موضوعی مشــکل
دارد، اگر ریشــه‌ی مشکل در یادگیری موضوعات
مرتبط به آن موضوع در همان پایه یا پایه‌های
پیـش از آن باشد، توضیح و تدریس چندباره‌ی
موضوع به وی مشکلی را حل نخواهد کرد.
از این رو، برای رفع آن باید بر یادگیری
موضوعات مرتبط متمرکز شد، نه صِرفاً خود آن موضوع. بررسی رابطه‌ی طولی درواقع موضوعات مرتبط را آشکار
می‌سازد.
ارزش مکانی، کلید نام‌گذاری اعداد و عددنویسی
عددنویسی تاریخچه‌ای به قدمت پیدایش خط و زبان دارد و
استفاده از ارزش مکانی و مبنای ده برای نوشتن و نام‌گذاری عددها در این فرایند اتفاقی نو
محسوب می‌شود. در اینجا قصد نداریم
این تاریخ را مرور کنیم، ولی مطالعه درباره‌ی
آن خالی از لطف نیست. در تصویر مقابل به ترتیب
از راست به چپ نمونه‌ای از عدد نویسی رومی، بابلی
و مصری را می‌بینید.
جدول زیر، ارزش مکانی عددهای صحیح تا طبقه‌بندی میلیارد و قسمت اعشاری تا یک هزارم را نشان می‌دهد:
برای نام‌گذاری اعداد، یعنی خواندن یا نوشتن
عددها، باید رقم‌های عدد موردنظر را در این
جدول قرار دهیم و براساس این مرتبه‌ها عدد را بخوانیم یا
بنویسیم.
می‌دانید که این جدول، هم از سمت راست و هم
از سمت چپ، با همین نظم و الگوهایی که دارد، ادامه پیدا می‌کند:
• ارزش هر ستون، ده برابر
بزرگ‌تر از ارزش ستون سمت راستش
است. یعنی از راست به چپ، ارزش ستون‌ها ده برابر ده برابر افزایش
می‌یابد (بنابراین از چپ به
راست، ستون‌ها ده برابر ده برابر کوچک
می‌شوند).
• از نظر عملی، هر ده تا یکی، می‌شود یک ده‌تایی. هر ده تا ده‌تایی، می‌شود یک صدتایی. هر ده تا صدتایی، می‌شود یک هزارتایی. هر ده تا هزارتایی، می‌شود یک ده‌هزارتایی و ... . برعکس، اگر یک ده‌هزارتایی را باز کنیم، ده تا هزارتایی
است. اگر یک هزارتایی را باز کنیم، ده تا صدتایی است و ...
• در قسمت اعشاری نیز همین روند برقرار است. یعنی هر ده تا یک‌هزارم می‌شود یک‌صدم. هر ده تا یک‌صدم می‌شود یک‌دهم. هر ده تا یک‌دهم می‌شود یک واحد کامل (یک). برعکس، هر یکی
برابر با ده تا یک‌دهم است. هر یک‌دهم برابر با ده تا یک‌صدم است و ...
• در قسمت صحیح، ارزش هر طبقه هزار برابر ارزش طبقه‌ی سمت راست خودش است. یعنی از راست به
چپ طبقه‌ها هزار برابر هزار برابر
بزرگ می‌شوند.
• در قسمت صحیح، هر طبقه سه قسمت دارد: یکان، دهگان و صدگان (به همین دلیل هم هست که
طبقه‌ها هزار برابر هزار برابر
بزرگ می‌شوند).
گسترده‌نویسی و روش‌های محاسبه
گسترده عددی مانند 617/43,782,501 چنین است:
در گسترده‌نویسی، هر رقم در ارزش مکانی که در آن
قرار گرفته است ضرب می‌شود تا مقدار واقعی آن معلوم
شود. عدد موردنظر ما مجموع همه‌ی این مقدارهاست. برای مثال،
رقم 3 در عدد بالا، 3 نیست، بلکه 3 میلیون است. زیرا در محل یکان میلیون قرار
گرفته است. یا رقم 6 درواقع 6 نیست، بلکه 6 دهم است.
وقتی عددی را می‌خوانید یا می‌نویسید، رقم‌ها باید با ارزش‌هایشان همراه باشند. همین موضوع کمک می‌کند بتوانید دو عدد را با هم مقایسه
کنید و عدد بزرگ‌تر را تشخیص دهید. در ادامه‌ی این مطلب، نقش گسترده‌نویسی را در رویه‌های چهار عمل اصلی اعداد بررسی خواهیم
کرد.
اکنون شما رویه‌ی ضرب عددهای چند رقمی در چند رقمی و
رویه‌ی تقسیم عددهای چند رقمی بر
چند رقمی را تحلیل کنید. توجه کنید که در ضرب دو عدد چندرقمی، از گسترده‌ی هر دو عدد و روش پخش کردن دو پرانتز
در هم (که بر خاصیت پخشی ضرب نسبت به جمع استوار است) استفاده می‌شود (کتاب ریاضی چهارم، صفحه‌های 49 تا 51). به صورت مشابه، در تقسیم
دو عدد چند رقمی بر یکدیگر نیز از گسترده‌ی
اعداد و خاصیت پخشی تقسیم نسبت به جمع استفاده می‌شود (کتاب ریاضی چهارم، صفحه‌های 68 تا 70).
اکنون که می‌دانیم رویه‌های چهار عمل اصلی اعداد براساس گسترده‌ی عددها به دست آمده‌اند، شش کتاب ریاضی ابتدایی را صفحه به
صفحه ورق می‌زنیم تا ببینیم چگونه بسیاری
از موضوعات و حتی تمرین‌ها یا فعالیت‌ها برای ایجاد بستر و موقعیت لازم درک
این ارتباط است. در جدول مقابل، این بررسی را برای پایه‌های اول تا چهارم خلاصه کرده‌ایم. شما نیز شش کتاب را ورق بزنید و اگر ما موردی را از قلم
انداخته‌ایم، به این جدول اضافه و
پایه‌های پنجم و ششم را کامل کنید.
