نقش ریاضی در حل مسائل واقعی زندگی

اشاره

در اولین قسمت این بخش به طرح مسئله‌ای می‌پردازیم که در مسابقه‌ای جهانی در سال 2007 در کشور هلند برگزار شده بود. مراحل مقدماتی این مسابقه در بسیاری از کشورهای جهان برگزار می‌شود که در ایران نیز به همت و تلاش «خانه ریاضیات اصفهان» هرساله مراحل اولیه آن برگزار شده است.

در اولین ساعت‌های بامداد 26 آوریل 1986 انفجار فاجعه‌باری در «نیروگاه هسته‌ای چرنوبیل» در کشور «اوکراین» فعلی اتفاق افتاد. در اثر این حادثه، میلیون‌ها نفر در بیش از 2218 شهر و روستا در اوکراین و کشورهای متعددی از روسیه تا انگلستان تحت‌تأثیر مواد رادیواکتیویته قرار گرفتند. خسارت‌های جانی، مالی و زیست‌محیطی این فاجعه هنوز نیز به چشم می‌خورد.

علت اصلی وقوع این حادثه و فاجعه عظیم، دو خطای انسانی پشت سر هم بود که دلیل آن‌ها خستگی دو نفر از کارمندان نیروگاه گزارش شد.

به گفته رئیس پلیس شهر بزرگ تهران در تابستان 1394، عامل اصلی 60 درصد تصادف‌های جاده‌ای، خستگی رانندگان بوده است. تأثیر خستگی و رانندگی ممتد و بدون استراحت، با تأثیر مواد مخدر یکسان است. خستگی باعث می‌شود تعادل عصبی راننده کاهش یابد که این امر موجب تصادف‌های سنگین جاده‌ای می‌شود. این موضوع، یعنی خستگی ناشی از رانندگی ممتد، زمانی مفهوم و معنی عمیق‌تری پیدا می‌کند که بدانیم تنها در 10 سال گذشته بیش از 220 هزار نفر در تصادف‌های جاده‌ای جان خود را از دست داده‌اند. این آمار از کشته‌شدگان ما را بیشتر به یاد یک جنگ تمام عیار می‌اندازد!

همه ما تجربه گرفتن یک تصمیم اشتباه را در زمان خستگی داشته‌ایم. هزینه این تصمیم‌های اشتباه برای خودمان و برای جامعه‌مان چقدر بوده است و چقدر خواهد بود؟

هرچند به اعتقاد بسیاری از جامعه‌شناسان و روان‌شناسان، «کار» سازنده شخصیت فرد و جامعه است، اما اگر راندمان و کیفیت انجام کار افت کند، همین نیروی مثبت سازنده، به نیروی عظیم ویرانگری تبدیل می‌شود. سؤال مهم این است که: چگونه می‌توانیم با روش‌های علمی از افت کار مفید جلوگیری کنیم و راه‌های مقابله با افت کیفیت کار کدام‌اند؟ واضح است که با جواب به این سؤال می‌توانیم از صرف هزینه‌های گزاف جلوگیری کنیم.

یکی از ایده‌های حل این مسئله، استراحت‌های مناسب در زمان انجام کار توسط کارمند، مدیر، معلم و دانش‌آموز است. اما این استراحت چگونه باید برنامه‌ریزی شود؟ با چه نظم و ترتیبی و در چه مدت‌زمانی؟ چگونه می‌توانیم در محیط کار، ضمن حفظ قوانین و تأمین خواسته‌های مدیران کارخانه، شرکت یا مدرسه، بالاترین راندمان را نیز حفظ کنیم؟

یک تجربه واقعی

در یک مطالعه واقعی در یک شرکت صنعتی بزرگ آلمانی، رابطه بین بهره‌وری و تعداد ساعت‌های کار به‌ صورتی که در نمودار 1 می‌بینید، معلوم شد.

در این موارد با افزایش ساعت کاری، بهره‌وری کاهش می‌یابد و همان‌طور که در نمودار مشخص است، بعد از هشت ساعت کار بی‌وقفه و بدون استراحت، بهره‌وری به 50 درصد کاهش می‌یابد.

از طرف دیگر مطالعات نشان داده‌اند، زنگ استراحت میزان بهره‌وری را افزایش می‌دهد، به‌گونه‌ای که همواره بعد از هر استراحت، بهره‌وری شخص بیشتر از بهره‌وری او قبل از وقت استراحت خواهد بود. در شرکت آلمانی مورد بحث نتایج زنگ‌های استراحت به شرح زیر بوده‌اند:

1. استراحت قبل از پنج ساعت کاری به اندازه t دقیقه، باعث می‌شود که راندمان کار به زمان t‌5/3 قبل از استراحت برگردد. مثلاً اگر شخصی از 8 صبح، 4 ساعت متوالی کار کند، یعنی تا ساعت 12 ظهر، و سپس 20 دقیقه استراحت کند، راندمان کار او به 20×5/3 دقیقه، یعنی 70 دقیقه قبل از استراحت و به راندمان ساعت 10:50 می‌رسد.

2. یک زنگ استراحت بعد از پنج ساعت کاری به اندازه t دقیقه، باعث می‌شود که راندمان کار به t‌3 دقیقه قبل از استراحت برگردد. مثلاً اگر شخصی که از 8 صبح، 6 ساعت متوالی تا ساعت 2 بعدازظهر کار کند و سپس 20 دقیقه استراحت کند، راندمان کار او به 20×3 دقیقه، یعنی 1 ساعت قبل از استراحت و راندمان ساعت 1 بعدازظهر می‌رسد.

پرسش نخست

در شرکتی که به آن اشاره کردیم، روزکاری از ساعت 8 صبح شروع و در ساعت 5 بعدازظهر پایان می‌یابد. در ساعت 12:00 زنگ ناهار یک ساعته‌ای برای کارکنان تعریف شده است. پس روز کاری 9 ساعت طول می‌کشد که 8 ساعت آن ساعت کاری واقعی است. هر شخص حداکثر 600wpu ¹ (واحد کار تولیدی در ساعت) می‌تواند بهره‌وری داشته باشد.

هیئت‌‌مدیره شرکت مایل است که حداکثر میزان بهره‌وری هر شخص را در طول یک روز کاری بداند:

الف. از روی نمودار 1 کل میزان بهره‌وری هر شخص در یک روز کاری 8 ساعته بدون استراحت را تقریباً محاسبه کنید.

ب. اگر یک زنگ ناهار یک ساعته از ساعت 12 تا 1 به کارکنان داده شود و ساعت کاری از 8 صبح تا 5 بعدازظهر تغییر کند، مقدار تقریبی بهره‌وری را محاسبه کنید. دقیقاً مشخص کنید که چطور از نمودار استفاده کرده‌اید.

در ادامه، برای ساده‌تر شدن محاسبه میزان بهره‌وری تصمیم گرفته شد که از یک معادله خطی استفاده شود. نمودار خطی انطباق داده شده در نمودار 2 داده شده است.

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، در مدل جدید فرض شده است که برای 8 ساعت کار مستمر بدون استراحت، بهره‌وری از 100 درصد به 60 درصد کاهش می‌یابد.

پرسش دوم

الف. میزان بهره‌وری کل را برای 8 ساعت کار مستمر بدون استراحت، به‌دست آورید.

ب. میزان بهره‌وری را برای یک روز کاری واقعی که ساعت کاری از 8:00 صبح تا 12:00 و از 13:00 تا 17:00 تعریف می‌شود، به‌دست آورید.

ج. اگر زمان یک ساعته استراحت را به بازه‌های برابر کوچک‌تر تقسیم کنیم، میزان بهره‌وری افزایش می‌یابد. به‌نظر شما بهترین بازه استراحت چند دقیقه خواهد بود؟ بیشینه (ماکزیمم) میزان بهره‌وری را در این شرایط محاسبه کنید.

پرسش سوم

بیشتر کارکنان ترجیح می‌دهند که بدون استراحت مستمر کار کنند و زودتر کارشان تمام شود. برای مثال، یک روز تعطیلی بیشتر شود یا همه روزهای کاری کوتاه‌تر شوند. در غیر این صورت کارکنان زمان استراحت طولانی‌تر را ترجیح می‌دهند. هیئت‌مدیره شرکت با هر نوع مدل کاری موافق است، به شرط آنکه هر شخص هفته‌ای (wpu) 19200 واحد کار کند. کارخانه هر روز از ساعت 7:30 تا 18:30 باز است:

الف. پیش‌بینی کنید که آیا شخصی می‌تواند با 4 روز کار این میزان بهره‌وری را براورده سازد؟

ب. طرحی جذاب برای کارکنان پیش‌بینی کنید، به شکلی که کارکنان در هفته 5 روز کار کنند.

راه‌حل‌های خود را با توضیح کامل روی نمودار ارائه دهید.

   پی‌نوشت‌

1. wpu: working per unit